Encontre:
lim x 1 cos pi x21-x

Passo 1

O enunciado pede
limxto1cospi x21-x
Este é um problema de limites com forma indeterminada tfrac00. Vamos usar a regra de l’Hôpital, que exige derivar numerador e denominador.

Passo 2

Verificando a substituição direta em x=1:
cospicdot12=cospi2=0, 1-1=0,
portanto a expressão tem forma tfrac00.

Passo 3

Aplicando a regra de l’Hôpital, calculamos as derivadas:
O numerador é f(x)=cospi x2, logo
f'(x) = -sinpi x2,pi2
O denominador é g(x)=1-x, então
g'(x) = -1
Pela regra de l’Hôpital,
limxto1cospi x21-x = limxto1f'(x)g'(x) = limxto1-sinpi x2,pi2-1 = limxto1sinpi x2,pi2

Passo 4

Agora basta avaliar em x=1:
sinpicdot12,pi2 = sinpi2,pi2 = 1cdotpi2 = pi2

Resposta

pi2

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