Determinar a dimensão e a uma base para cada um dos seguintes espaços vetoriais:
(x, y, z) in R^3 ; y+x=0

Passo 1

O enunciado define o subespaço
S = (x,y,z)inR^3 mid x + y = 0
O conteúdo aqui é identificação de subespaços via equações lineares, cálculo de dimensão e escolha de base.

Passo 2

Da condição x + y = 0 segue
y = -x
Logo todo vetor de S pode ser escrito na forma
(x,y,z) = (x,,-x,,z)

Passo 3

Introduzimos parâmetros livre x e z. Assim
(x,,-x,,z) = x,(1,,-1,,0) ;+; z,(0,,0,,1)
Isso mostra que S = span(1,-1,0),,(0,0,1).

Passo 4

Verificamos que (1,-1,0) e (0,0,1) são linearmente independentes em R^3. Portanto formam uma base de S.

Resposta

dimensão de S é 2, com base (1,-1,0),,(0,0,1).

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