Exercício 3 Seja uma função contínua. Mostre que, para todo , existe um polinômio tal que , para todo .
Passo 1
O enunciado pede para provar que toda função contínua pode ser aproximada uniformemente por polinômios. Esse é o Teorema de Weierstrass. Vamos usar a construção dos polinômios de Bernstein, que fornece uma sequência de polinômios convergindo uniformemente a .
Passo 2
Como é contínua em , pelo fato de ser compacto, é uniformemente contínua. Logo, dado existe tal que
para todo .
Passo 3
Definimos a mudança de variável
e a função
Então é contínua (e uniformemente contínua) em , e basta aproximar por polinômios em para obter, por reescalamento, a aproximação de em .
Passo 4
Para todo , definimos o polinômio de Bernstein de grau associado a :
Passo 5
Considere o erro
Separamos a soma em dois blocos, segundo os índices k em que l|tfrackn-xr|<de<a (chamemos de bloco 1) e o complemento (bloco 2). Seja
M = maxxin[0,1] |g(x)|<infty
No bloco 1 cada termo satisfaz
l|g(tfrackn) - g(x)r| < varepsilon2,
e a soma dos coeficientes binomnkx^k(1-x)^n-k é <=1, logo a contribuição do bloco 1 é <= tfracvarepsilon2.
No bloco 2 temos l|g(tfrackn) - g(x)r|<=2M e a soma dos mesmos coeficientes é a probabilidade Pl(|tfracKn-x|>=de<ar), onde KsimBin(n,x). Pelo desigualdade de Chebyshev,