Exercício 3 Seja f:[a, b] R uma função contínua. Mostre que, para todo varepsilon>0, existe um polinômio p(t) tal que |f(t)-p(t)|<varepsilon, para todo t in[a, b].

Passo 1

O enunciado pede para provar que toda função contínua f:[a,b]toR pode ser aproximada uniformemente por polinômios. Esse é o Teorema de Weierstrass. Vamos usar a construção dos polinômios de Bernstein, que fornece uma sequência de polinômios convergindo uniformemente a f.

Passo 2

Como f é contínua em [a,b], pelo fato de [a,b] ser compacto, f é uniformemente contínua. Logo, dado varepsilon>0 existe de<a>0 tal que
|t-s|<de<a Longrightarrow |f(t)-f(s)|<varepsilon2
para todo s,tin[a,b].

Passo 3

Definimos a mudança de variável
x = t - ab - ain[0,1],
e a função
g(x) = fl(a + (b - a)xr)
Então g é contínua (e uniformemente contínua) em [0,1], e basta aproximar g por polinômios em [0,1] para obter, por reescalamento, a aproximação de f em [a,b].

Passo 4

Para todo ninN, definimos o polinômio de Bernstein de grau n associado a g:
Bn(g;x) ;=; sumk=0^n g!l(tfracknr)binomnkx^k(1-x)^n-k

Passo 5

Considere o erro
En(x) = l|g(x) - Bn(g;x)r|
Separamos a soma em dois blocos, segundo os índices k em que l|tfrackn-xr|<de<a (chamemos de bloco 1) e o complemento (bloco 2). Seja
M = maxxin[0,1] |g(x)|<infty
No bloco 1 cada termo satisfaz
l|g(tfrackn) - g(x)r| < varepsilon2,
e a soma dos coeficientes binomnkx^k(1-x)^n-k é <=1, logo a contribuição do bloco 1 é <= tfracvarepsilon2.
No bloco 2 temos l|g(tfrackn) - g(x)r|<=2M e a soma dos mesmos coeficientes é a probabilidade
Pl(|tfracKn-x|>=de<ar), onde KsimBin(n,x). Pelo desigualdade de Chebyshev,
Pl(|tfracKn-x|>=de<ar);<=;Var(K/n)de<a^2 ;=;x(1-x)n,de<a^2;<=;14,n,de<a^2
Assim a contribuição do bloco 2 é <=2Mcdot14nde<a^2=M2nde<a^2. Portanto
En(x);<=;varepsilon2 ;+;M2,n,de<a^2

Passo 6

Basta escolher n tal que
M2,n,de<a^2 < varepsilon2,
por exemplo n > Mvarepsilon,de<a^2. Com isso En(x)<varepsilon para todo xin[0,1]. Voltando à variável t, o polinômio
p(t) = Bn!l(g;tfract-ab-ar)
aproxima f uniformemente em [a,b], isto é, l|f(t)-p(t)r|<varepsilon para todo t.

Resposta

Usando os polinômios de Bernstein construímos, para cada varepsilon>0, um polinômio p que satisfaz
suptin[a,b]|f(t)-p(t)|<varepsilon,
como pedido.

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