Encontre os pontos críticos das seguintes funções e classifique-os.
f(x, y)= ^1 x^- ^64 y^+ x y

Passo 1

Vamos encontrar os pontos críticos de
f(x,y)=x-64,y+x,y
aplicando a condição de gradiente nulo e, em seguida, usar a matriz Hessiana para classificar cada ponto (mínimo local, máximo local ou ponto de sela).

Passo 2

Calcule as derivadas parciais e imponha-as iguais a zero:
fx = partialpartial x(x-64y+xy) = 1 + y,
fy = partialpartial y(x-64y+xy) = -64 + x
Para ponto crítico, fx=0 e fy=0. Logo,
1+y=0 Longrightarrow y=-1,
-64 + x=0 Longrightarrow x=64
Portanto há um único ponto crítico em (x,y)=(64,-1).

Passo 3

Agora montamos a matriz Hessiana H, cujos elementos são as segundas derivadas:
fxx = partialpartial x(1+y)=0, fxy = partialpartial y(1+y)=1,
fyx = partialpartial x(-64+x)=1, fyy = partialpartial y(-64+x)=0
Assim,
H = 0 & 1 1 & 0
O determinante de H é
det H = (0)(0)-(1)(1) = -1<0

Passo 4

Como det H<0, o ponto crítico é um ponto de sela.

Resposta

O único ponto crítico é (64,-1) e é um ponto de sela.

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