Encontre:
lim x 0 cos a x-cos b xx

Passo 1

O enunciado pede
limxto0cos(a x)-cos(b x)x
Esse é um limite do tipo tfrac00, pois cos(acdot0)=cos(bcdot0)=1. Para resolver, vamos usar a regra de l’Hôpital, que diz que se o numerador e o denominador tendem a zero e as derivadas existem, então
limxto0f(x)g(x) =limxto0f'(x)g'(x),
desde que o limite à direita exista.

Passo 2

Verificamos a forma indeterminada:
cos(a x)-cos(b x)xrightarrow[xto0]1-1=0, xxrightarrow[xto0]0,
logo é realmente tfrac00, e podemos aplicar l’Hôpital.

Passo 3

Derivamos numerador e denominador:
  • A derivada de cos(a x) em relação a x é -asin(a x).
  • A derivada de -cos(b x) é +bsin(b x).
  • A derivada de x é 1.
Portanto, pela regra de l’Hôpital,
limxto0cos(a x)-cos(b x)x =limxto0-asin(a x)+bsin(b x)1

Passo 4

Agora avaliamos em xto0:
-asin(a x)+bsin(b x)xrightarrow[xto0]-acdot0 + bcdot0 = 0
Logo o limite vale 0.

Resposta

0

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