Se a transforma de Laplace de uma função f(t) é dada por F(s)=s-3s^2+4 s+4. Calcule f(t).

Passo 1

O enunciado nos dá a transformada de Laplace
F(s)=s-3s^2+4s+4
e pede a função original f(t). O conteúdo aqui é a inversão da transformada de Laplace usando frações parciais e o teorema do deslocamento no domínio de s.

Passo 2

Observe que o denominador é um quadrado perfeito:
s^2+4s+4=(s+2)^2
Portanto podemos reescrever
F(s)=s-3(s+2)^2

Passo 3

Queremos decompor dfracs-3(s+2)^2 em termos de frações cujas inversas sejam conhecidas. Escrevemos
s-3=(s+2)-5
e então
s-3(s+2)^2 =(s+2)-5(s+2)^2 =s+2(s+2)^2-5(s+2)^2 =1s+2-5(s+2)^2

Passo 4

Agora aplicamos a inversa de Laplace a cada termo:
  • L^-1ltfrac1s+2r=e^-2t
  • L^-1ltfrac1(s+2)^2r=t,e^-2t
    Pela linearidade,
f(t)=e^-2t-5,t,e^-2t

Resposta

f(t)=e^-2t-5,t,e^-2t

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