Mostrar que se u, v e w são LI, então u+v, u+w e v+w são também LI.

Passo 1

O enunciado quer que a gente prove que, se três vetores u,v,w em um espaço vetorial são linearmente independentes (LI), então a nova tripla ,u+v,;u+w,;v+w também é LI. Vamos usar a definição de independência linear: um conjunto de vetores é LI se a única combinação linear que dá o vetor zero é a combinação trivial (todos os coeficientes iguais a zero).

Passo 2

Suponha, para fins de prova, que exista uma combinação linear
alpha,(u+v);+;beta,(u+w);+;gamma,(v+w);=;0
Nosso objetivo é mostrar que alpha=beta=gamma=0.

Passo 3

Expandindo e agrupando termos segundo
Como são LI, os coeficientes acima precisam ser todos zero. Isso gera o sistema
Da primeira equação vem . Substituindo na terceira:
Logo e .

Passo 4

Concluímos que a única solução é alpha=beta=gamma=0, ou seja, não há combinação linear não-trivial que zere ,u+v,;u+w,;v+w. Isso prova que esses vetores são LI.

Resposta

Os vetores u+v, u+w e v+w são linearmente independentes.

Exercícios relacionados