Mostrar que se u, v e w são LI, então são também LI.
Passo 1
O enunciado quer que a gente prove que, se três vetores em um espaço vetorial são linearmente independentes (LI), então a nova tripla também é LI. Vamos usar a definição de independência linear: um conjunto de vetores é LI se a única combinação linear que dá o vetor zero é a combinação trivial (todos os coeficientes iguais a zero).
Passo 2
Suponha, para fins de prova, que exista uma combinação linear
Nosso objetivo é mostrar que .
Passo 3
Expandindo e agrupando termos segundo
Como são LI, os coeficientes acima precisam ser todos zero. Isso gera o sistema
Da primeira equação vem . Substituindo na terceira:
Logo e .
Passo 4
Concluímos que a única solução é alpha=beta=gamma=0, ou seja, não há combinação linear não-trivial que zere ,u+v,;u+w,;v+w. Isso prova que esses vetores são LI.
Resposta
Os vetores u+v, u+w e v+w são linearmente independentes.