Encontre o limite.

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite . Esse é um limite de função trigonométrica quando limxto(pi/2)^-l(tfracpi2-xr)tg x se aproxima de um ponto em que fica infinita. Para resolver, vamos usar uma substituição que transforme o produto em uma forma conhecida e aplicar limites trigonométricos básicos.

Passo 2

Fazendo a substituição t=tfracpi2-x, vemos que quando xto(pi/2)^- então tto0^+. Além disso,

Passo 3

Portanto o limite original vira

Passo 4

Lembramos que cot t=cos tsin t e que
tcot t=tcos tsin t=tsin tcdotcos t

Passo 5

Usando limtto0tfracsin tt=1 e limtto0cos t=1, obtemos
limtto0tcot t=limtto0tsin tcdotcos t=1cdot1=1

Resposta

1

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