Encontre o limite.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para encontrar o limite de 1x-1 - 1ln x quando x se aproxima de 1 pela direita ( x 1^+). Para resolver isso, vamos precisar entender de limites, especialmente limites envolvendo funções que se aproximam de 0, e usar algumas aproximações de funções logarítmicas próximas de 1.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o comportamento das expressões 1x-1 e 1ln x quando x se aproxima de 1 pela direita.
  • Quando x 1^+, x - 1 0^+, então 1x-1 tende ao infinito positivo.
  • Também, ln x quando x 1 se aproxima de 0. Mais precisamente, sabemos que ln 1 = 0 e para x próximo de 1, ln x pode ser aproximado pela expansão em série de Taylor.

Passo 3

Vamos fazer uma substituição para facilitar os cálculos. Seja h = x - 1, então quando x 1^+, h 0^+, e podemos reescrever as expressões em termos de h:
1x-1 - 1ln x = 1h - 1ln(1 + h)

Passo 4

Agora, precisamos aproximar ln(1 + h) para valores pequenos de h. Usamos a série de Taylor para ln(1 + h):
ln(1 + h) = h - h^22 + h^33 - dots
Para h muito pequeno, podemos considerar apenas os primeiros termos:
ln(1 + h) approx h - h^22

Passo 5

Substituindo essa aproximação na expressão original:
1h - 1ln(1 + h) approx 1h - 1h - h^22
Simplificando o denominador do segundo termo:
1h - h^22 = 1h(1 - h2) = 1h cdot 11 - h2

Passo 6

Usamos a expansão geométrica para 11 - h2:
11 - h2 approx 1 + h2 + (h2)^2 + dots approx 1 + h2
Então:
1h - h^22 approx 1h(1 + h2) = 1h + 12

Passo 7

Voltando à expressão original aproximada:
1h - (1h + 12) = 1h - 1h - 12 = -12

Resposta

O limite é -12.

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