Encontre o limite.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para encontrar o limite de
quando
se aproxima de 1 pela direita (
). Para resolver isso, vamos precisar entender de limites, especialmente limites envolvendo funções que se aproximam de 0, e usar algumas aproximações de funções logarítmicas próximas de 1.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o comportamento das expressões
e
quando
se aproxima de 1 pela direita.
- Quando
, , então tende ao infinito positivo. - Também,
quando se aproxima de 0. Mais precisamente, sabemos que e para próximo de 1, pode ser aproximado pela expansão em série de Taylor.
Passo 3
Vamos fazer uma substituição para facilitar os cálculos. Seja
, então quando
,
, e podemos reescrever as expressões em termos de
:
Passo 4
Agora, precisamos aproximar
para valores pequenos de
. Usamos a série de Taylor para
:
Para
muito pequeno, podemos considerar apenas os primeiros termos:
Passo 5
Substituindo essa aproximação na expressão original:
Simplificando o denominador do segundo termo:
Passo 6
Usamos a expansão geométrica para
:
Então:
Passo 7
Voltando à expressão original aproximada:
Resposta
O limite é
.