Encontre o limite.

Passo 1

O enunciado pede o limite limxto a^+cos x,ln(x-a)ln(e^x-e^a). Aqui temos um caso de indeterminação do tipo -infty/ -infty, e vamos usar equivalentes infinitesimais e propriedades de logaritmos para resolver.

Passo 2

Quando xto a^+: ln(x-a)to -infty e cos xto cos a. Portanto o numerador cos x,ln(x-a) se comporta como cos acdot(-infty). Por outro lado, e^x-e^ato 0^+ faz ln(e^x-e^a)to -infty. Logo é indeterminação -infty/ -infty.

Passo 3

Usando a expansão de Taylor de e^x em torno de x=a:
e^x = e^a + e^a(x-a) + o(x-a), subtraindo e^a vem
e^x - e^a = e^a(x-a) + o(x-a)

Passo 4

Agora aplicamos o logaritmo: se uto0 então ln(u+o(u))=ln u + o(1). Tomando u=e^a(x-a) obtém-se
ln(e^x - e^a) = lnl(e^a(x-a)r) + o(1) = a + ln(x-a) + o(1)

Passo 5

Substituindo no limite:
cos x,ln(x-a)ln(e^x-e^a) = cos x,ln(x-a)a + ln(x-a) + o(1) Como xto a^+, cos xtocos a e ln(x-a)to-infty, então os termos a/ln(x-a) e o(1)/ln(x-a) vão a zero. Assim o quociente tende a cos a.

Resposta

cos a

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