Encontre o limite.

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite limxtoinftyl(2x-32x+5r)^2x+1. Esse problema envolve a indeterminação do tipo 1^infty, e para resolvê-lo vamos reescrever a expressão numa forma que permita usar o limite fundamental limuto0(1+u)^1/u=e.

Passo 2

Observe que
2x-32x+5=1-82x+5
Isso mostra que a base tende a 1 conforme xtoinfty e pode ser escrita como 1+u com u=-8/(2x+5).

Passo 3

Note que
2x+1=(2x+5)-4
Assim podemos separar o expoente:
l(1-82x+5r)^2x+1 =l(1-82x+5r)^2x+5cdot l(1-82x+5r)^-4

Passo 4

Para o primeiro fator, usando o limite fundamental,
limxtoinftyl(1-82x+5r)^2x+5=e^-8
Para o segundo fator, como limxtoinfty(1-82x+5)=1,
limxtoinftyl(1-82x+5r)^-4=1

Passo 5

Combinando os dois fatores,
e^-8cdot1=e^-8,
portanto o limite vale e^-8.

Resposta

e^-8

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