Encontre o limite.
^* lim x 0 xarctg(4 x)

Passo 1

O exercício pede o cálculo do limite . O assunto é limites de funções, em especial usando aproximações para funções trigonométricas inversas perto de zero.

Passo 2

Primeiro, observe que ao substituir x=0 temos numerador zero e denominador , ou seja, forma indeterminada arctg(0)=0. Isso indica que podemos usar uma equivalência assintótica ou a regra de l’Hôpital.

Passo 3

Uma ferramenta muito útil é a expansão de Taylor de em torno de arctg t, que diz que quando t=0. Logo, para arctg tsim t vale

Passo 4

Portanto,

Passo 5

Isso mostra que o limite vale 1/4.

Resposta

1/4

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