Encontre o limite e, quando aplicável, indique os teoremas de limite usados.
Passo 1
O enunciado pede: calcular o limite
Informações dadas e observações imediatas:
- A função a estudar é
. - Ao substituir
diretamente, o numerador vale
e o denominador vale
- Portanto a substituição direta dá a forma indeterminada
. Isso indica que é preciso manipular algebricamente a expressão antes de avaliar o limite.
Passo 2
Estratégia e conceito utilizado (explicado devagar): quando uma razão de polinômios dá
, uma técnica básica e eficiente é fatorar (ou dividir) para tentar cancelar um fator comum. Justificativa teórica usada depois: se duas funções coincidem em todos os pontos de uma vizinhança de
, exceto possivelmente em
(isto é, são iguais em um punctured neighborhood), então têm o mesmo limite em
. Além disso, polinômios são contínuos: para qualquer polinômio
, vale
. Usaremos essas ideias.
Vamos tentar fatorar o numerador pelo fator
, já que
zera o numerador.
Realizando divisão sintética (ou divisão de polinômios) do polinômio
por
. Coeficientes:
. Aplicando a raiz
:
- Trago
. - Multiplico
por e somo ao próximo coeficiente: . - Multiplico
por e somo: . - Multiplico
por e somo: (resto zero, confirma que é fator).
O quociente obtido é
. Logo
Passo 3
Fatoração do denominador e simplificação:
- O denominador
fatora como
- Portanto a expressão original pode ser escrita como
- Para
podemos cancelar o fator , obtendo a função equivalente (em todo ponto diferente de )
Passo 4
Justificação da troca de função para calcular o limite:
- Como
para todo em alguma vizinhança de , exceto possivelmente no próprio ponto , as funções têm o mesmo limite em . - Após o cancelamento, o denominador de
em vale . Então é uma função racional que é contínua em . - Pela continuidade (ou pelo teorema de limite para quocientes quando o limite do denominador é não nulo), podemos calcular o limite simplesmente substituindo
em .
Passo 5
Avaliação do limite por substituição (contagem e cuidado nas operações):
- Calcular o numerador de
em :
- Calcular o denominador de
em :
- Portanto
Passo 6
Resumo dos teoremas/lógicas usados (curto e direto):
- Teste de substituição direta mostrou forma indeterminada
. - Fatoração (divisão de polinômios) para cancelar o fator que causa a indeterminação.
- Uso do fato de que funções iguais numa vizinhança (exceto possivelmente no ponto) têm o mesmo limite.
- Continuidade de polinômios e regra do quociente (quando o limite do denominador é não nulo) para avaliar o limite por substituição.