Encontre o limite e, quando aplicável, indique os teoremas de limite usados.
lim _{x \rightarrow-2} \frac{x^{3}-x^{2}-x+10}{x^{2}+3 x+2}

Passo 1

O enunciado pede: calcular o limite
\lim_{x\to -2}\frac{x^{3}-x^{2}-x+10}{x^{2}+3x+2}.
Informações dadas e observações imediatas:
  • A função a estudar é f(x)=\dfrac{x^{3}-x^{2}-x+10}{x^{2}+3x+2}.
  • Ao substituir x=-2 diretamente, o numerador vale
(-2)^{3}-(-2)^{2}-(-2)+10 = -8-4+2+10 = 0,
e o denominador vale
(-2)^{2}+3(-2)+2 = 4-6+2 = 0.
  • Portanto a substituição direta dá a forma indeterminada 0/0. Isso indica que é preciso manipular algebricamente a expressão antes de avaliar o limite.

Passo 2

Estratégia e conceito utilizado (explicado devagar): quando uma razão de polinômios dá 0/0, uma técnica básica e eficiente é fatorar (ou dividir) para tentar cancelar um fator comum. Justificativa teórica usada depois: se duas funções coincidem em todos os pontos de uma vizinhança de a, exceto possivelmente em a (isto é, são iguais em um punctured neighborhood), então têm o mesmo limite em a. Além disso, polinômios são contínuos: para qualquer polinômio p, vale \lim_{x\to a} p(x)=p(a). Usaremos essas ideias.
Vamos tentar fatorar o numerador pelo fator (x+2), já que x=-2 zera o numerador.
Realizando divisão sintética (ou divisão de polinômios) do polinômio x^{3}-x^{2}-x+10 por x+2. Coeficientes: 1,\,-1,\,-1,\,10. Aplicando a raiz -2:
  • Trago 1.
  • Multiplico 1 por -2 e somo ao próximo coeficiente: -2 + (-1)= -3.
  • Multiplico -3 por -2 e somo: 6 + (-1)=5.
  • Multiplico 5 por -2 e somo: -10 + 10 = 0 (resto zero, confirma que (x+2) é fator).
O quociente obtido é x^{2}-3x+5. Logo
x^{3}-x^{2}-x+10=(x+2)(x^{2}-3x+5).

Passo 3

Fatoração do denominador e simplificação:
  • O denominador x^{2}+3x+2 fatora como
x^{2}+3x+2=(x+1)(x+2).
  • Portanto a expressão original pode ser escrita como
\frac{x^{3}-x^{2}-x+10}{x^{2}+3x+2} = \frac{(x+2)(x^{2}-3x+5)}{(x+2)(x+1)}.
  • Para x\neq -2 podemos cancelar o fator (x+2), obtendo a função equivalente (em todo ponto diferente de -2)
g(x)=\frac{x^{2}-3x+5}{x+1}.

Passo 4

Justificação da troca de função para calcular o limite:
  • Como f(x)=g(x) para todo x em alguma vizinhança de -2, exceto possivelmente no próprio ponto x=-2, as funções têm o mesmo limite em x\to -2.
  • Após o cancelamento, o denominador de g em x=-2 vale -2+1 = -1 \neq 0. Então g é uma função racional que é contínua em x=-2.
  • Pela continuidade (ou pelo teorema de limite para quocientes quando o limite do denominador é não nulo), podemos calcular o limite simplesmente substituindo x=-2 em g.

Passo 5

Avaliação do limite por substituição (contagem e cuidado nas operações):
  • Calcular o numerador de g em x=-2:
(-2)^{2}-3(-2)+5 = 4 +6 +5 = 15.
  • Calcular o denominador de g em x=-2:
-2 + 1 = -1.
  • Portanto
\lim_{x\to -2}\frac{x^{3}-x^{2}-x+10}{x^{2}+3x+2} = \lim_{x\to -2} g(x) = \frac{15}{-1} = -15.

Passo 6

Resumo dos teoremas/lógicas usados (curto e direto):
  • Teste de substituição direta mostrou forma indeterminada 0/0.
  • Fatoração (divisão de polinômios) para cancelar o fator que causa a indeterminação.
  • Uso do fato de que funções iguais numa vizinhança (exceto possivelmente no ponto) têm o mesmo limite.
  • Continuidade de polinômios e regra do quociente (quando o limite do denominador é não nulo) para avaliar o limite por substituição.

Resposta

-15

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