Encontre o limite e, quando aplicável, indique os teoremas de limite usados.
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
Informações dadas:
- A expressão a considerar é
. - O ponto de interesse é
.
Passo 2
Tentar substituição direta para ver se dá para avaliar na hora. Calcular numerador e denominador em
:
Avaliaremos cada um:
logo o numerador é
.
logo o denominador é
.
Portanto a substituição direta dá a forma indeterminada . Quando aparece
precisamos manipular a expressão (por exemplo por fatoração) para simplificar antes de avaliar o limite.
Portanto a substituição direta dá a forma indeterminada
Passo 3
Fatorar o numerador usando diferença de quadrados. Note que
. A diferença de quadrados fatoriza como
Passo 4
Reescrever a fração usando a fatoração:
Para
(ou seja, enquanto o denominador for diferente de zero) é possível cancelar o fator comum
, obtendo
Assim a função original coincide com o polinômio
em todo ponto diferente de
.
Passo 5
Usar teoremas de limites (álgebra dos limites / continuidade):
- Se duas funções
e são iguais em todo ponto de um vizinhança de , exceto possivelmente em próprio, então , quando um desses limites existe. - Polinômios são funções contínuas, então o limite de um polinômio no ponto é simplesmente o valor do polinômio naquele ponto.
Como a expressão original coincide com
para
próximo de
(exceto no próprio ponto), tem-se
Agora avaliamos o polinômio em
:
Passo 6
Resumo dos teoremas usados:
- Fatoração (diferença de quadrados) para eliminar a indeterminação
. - Álgebra dos limites: se
em todo puncto perto de (exceto possivelmente em ), então . - Continuidade de polinômios:
para qualquer polinômio .
Observação conceitual: o ponto
é uma descontinuidade removível da função original, porque ao cancelar o fator obtemos uma função contínua
que dá o valor correspondente quando
.