Encontre o limite e, quando aplicável, indique os teoremas de limite usados.
lim _{x \rightarrow-3 / 2} \frac{4 x^{2}-9}{2 x+3}

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x\to -\tfrac{3}{2}} \frac{4x^{2}-9}{2x+3}.
Informações dadas:
  • A expressão a considerar é \dfrac{4x^{2}-9}{2x+3}.
  • O ponto de interesse é x\to -\tfrac{3}{2}.

Passo 2

Tentar substituição direta para ver se dá para avaliar na hora. Calcular numerador e denominador em x=-\tfrac{3}{2}:
4\left(-\tfrac{3}{2}\right)^{2}-9 \qquad\text{e}\qquad 2\left(-\tfrac{3}{2}\right)+3.
Avaliaremos cada um:
4\left(-\tfrac{3}{2}\right)^{2}=4\cdot\left(\tfrac{9}{4}\right)=9,
logo o numerador é 9-9=0.
2\left(-\tfrac{3}{2}\right)+3=-3+3=0,
logo o denominador é 0.
Portanto a substituição direta dá a forma indeterminada 0/0. Quando aparece 0/0 precisamos manipular a expressão (por exemplo por fatoração) para simplificar antes de avaliar o limite.

Passo 3

Fatorar o numerador usando diferença de quadrados. Note que 4x^{2}-9=(2x)^{2}-3^{2}. A diferença de quadrados fatoriza como
4x^{2}-9=(2x-3)(2x+3).

Passo 4

Reescrever a fração usando a fatoração:
\frac{4x^{2}-9}{2x+3}=\frac{(2x-3)(2x+3)}{2x+3}.
Para x\neq -\tfrac{3}{2} (ou seja, enquanto o denominador for diferente de zero) é possível cancelar o fator comum 2x+3, obtendo
\frac{4x^{2}-9}{2x+3}=2x-3\qquad\text{para }x\neq -\tfrac{3}{2}.
Assim a função original coincide com o polinômio 2x-3 em todo ponto diferente de -\tfrac{3}{2}.

Passo 5

Usar teoremas de limites (álgebra dos limites / continuidade):
  • Se duas funções f e g são iguais em todo ponto de um vizinhança de a, exceto possivelmente em a próprio, então \lim_{x\to a} f(x)=\lim_{x\to a} g(x), quando um desses limites existe.
  • Polinômios são funções contínuas, então o limite de um polinômio no ponto é simplesmente o valor do polinômio naquele ponto.
Como a expressão original coincide com 2x-3 para x próximo de -\tfrac{3}{2} (exceto no próprio ponto), tem-se
\lim_{x\to -\tfrac{3}{2}} \frac{4x^{2}-9}{2x+3} = \lim_{x\to -\tfrac{3}{2}} (2x-3).
Agora avaliamos o polinômio em x=-\tfrac{3}{2}:
2\left(-\tfrac{3}{2}\right)-3=-3-3=-6.

Passo 6

Resumo dos teoremas usados:
  • Fatoração (diferença de quadrados) para eliminar a indeterminação 0/0.
  • Álgebra dos limites: se f(x)=g(x) em todo puncto perto de a (exceto possivelmente em a), então \lim_{x\to a} f(x)=\lim_{x\to a} g(x).
  • Continuidade de polinômios: \lim_{x\to a} p(x)=p(a) para qualquer polinômio p.
Observação conceitual: o ponto x=-\tfrac{3}{2} é uma descontinuidade removível da função original, porque ao cancelar o fator obtemos uma função contínua 2x-3 que dá o valor correspondente quando x=-\tfrac{3}{2}.

Resposta

-6

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