Encontre o seu limite.
b) a_{n}=\frac{(\log n)^{2}}{n^{7}}

Passo 1

O enunciado pede o limite da sequência \displaystyle a_{n}=\frac{(\ln n)^{2}}{n^{7}}
quando n\to\infty.
O conteúdo é limites de sequência em que o denominador cresce polinomialmente e o numerador cresce logaritmicamente. Vamos usar a ideia de que uma potência de n cresce muito mais rápido que qualquer potência de \ln n.

Passo 2

Para explorar isso, definimos a função contínua
f(x)=\frac{(\ln x)^{2}}{x^{7}},
e estudamos \displaystyle\lim_{x\to\infty}f(x). Se esse limite for zero, o mesmo valerá para a sequência a_n.

Passo 3

Reescrevemos o denominador em forma exponencial:
x^{7}=e^{7\ln x}.
Logo,
f(x) =\frac{(\ln x)^{2}}{e^{7\ln x}}.
Fazendo a mudança de variável t=\ln x, quando x\to\infty temos t\to\infty e
f(x)=\frac{t^{2}}{e^{7t}}.

Passo 4

Agora calculamos
\lim_{t\to\infty}\frac{t^{2}}{e^{7t}}.
Como a função exponencial e^{7t} cresce muito mais rápido que o polinômio t^{2}, esse limite é zero. Formalmente, pode-se aplicar a Regra de L’Hôpital duas vezes, sempre obtendo no numerador uma potência de t de grau decrescente até chegar a constante e no denominador um exponencial que permanece dominante.

Passo 5

Como \displaystyle\lim_{x\to\infty}f(x)=0, conclui-se que \displaystyle\lim_{n\to\infty}a_{n}=0.

Resposta

0

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