Encontre o seu limite.
c) a_{n}=\frac{3^{n}+(-2)^{n}}{2^{n+1}+(-1)^{n+1}}

Passo 1

O enunciado pede que a gente calcule
\lim_{n\to\infty}a_{n} \quad\text{onde}\quad a_{n}=\frac{3^{n}+(-2)^{n}}{2^{n+1}+(-1)^{n+1}}.
O conteúdo é limite de sequência envolvendo potências, e vamos usar o fato de que, para grandes n, as potências de maior base dominam as demais.

Passo 2

Perceba que, quando n cresce, 3^{n} cresce mais rápido que |(-2)^{n}|, e 2^{n+1} cresce muito mais que |(-1)^{n+1}|. Então vale a pena “fatorar” os termos de maior ordem de cada parte para ver o comportamento assintótico.

Passo 3

Fatorando 3^{n} no numerador e 2^{n+1} no denominador, obtemos
a_{n} =\frac{3^{n}\bigl(1+(-2/3)^{n}\bigr)}{2^{n+1}\bigl(1+(-1)^{n+1}/2^{n+1}\bigr)} =\frac{3^{n}}{2^{n+1}}\;\cdot\;\frac{1+(-2/3)^{n}}{1+(-1)^{n+1}/2^{n+1}}.

Passo 4

Note que
\lim_{n\to\infty}(-2/3)^{n}=0 \quad\text{e}\quad \lim_{n\to\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{2^{n+1}}=0,
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\frac{1+(-2/3)^{n}}{1+(-1)^{n+1}/2^{n+1}}\;\longrightarrow\;1.
Além disso,
\frac{3^{n}}{2^{n+1}} =\frac{1}{2}\Bigl(\frac{3}{2}\Bigr)^{n},
e como \tfrac32>1, temos \bigl(\tfrac32\bigr)^{n}\to+\infty. Logo o produto diverge para +\infty.

Resposta

\lim_{n\to\infty}a_{n}=+\infty.

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