Encontre o seu limite.
a) a_{n}=\left(\frac{3 n+1}{3 n-1}\right)^{n}

Passo 1

O enunciado pede o limite da sequência
a_{n} = \Bigl(\frac{3n+1}{3n-1}\Bigr)^{n}
quando n\to\infty. Vamos usar a ideia de escrever a_n como \exp(\ln a_n) e analisar \ln a_n por meio de equivalências para limites.

Passo 2

Escrevendo em termos de logaritmo:
\ln a_{n} = n \Bigl[\ln(3n+1) - \ln(3n-1)\Bigr] = n \,\ln\!\Bigl(\frac{3n+1}{3n-1}\Bigr).

Passo 3

Observe que
\frac{3n+1}{3n-1} = 1 + \frac{2}{3n-1}.
Logo
\ln a_{n} = n \,\ln\!\Bigl(1 + \tfrac{2}{3n-1}\Bigr).

Passo 4

Para x\to0 vale \ln(1+x)\sim x. Aqui x = 2/(3n-1)\to0, então
\ln\!\Bigl(1 + \tfrac{2}{3n-1}\Bigr) \sim \frac{2}{3n-1}.
Multiplicando por n,
\ln a_{n} \sim n \cdot \frac{2}{3n-1} \longrightarrow \frac{2}{3} \quad(\text{quando }n\to\infty).

Passo 5

Como \ln a_{n}\to \tfrac{2}{3}, temos
a_{n} = e^{\ln a_{n}} \longrightarrow e^{2/3}.

Resposta

\lim_{n\to\infty}a_{n} = e^{2/3}.

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