Resolver o problema de valor inicial.
x \frac{d v}{d x}=\frac{1-4 v^{2}}{3 v}, \quad v(1)=0
Escolha uma opção:
a. Resolvido.
b. Não consegui. × Equação Separável. Ao resolver, substituir as condições iniciais dadas para encontrar o valor da constante.

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial
x \frac{dv}{dx} = \frac{1 - 4v^2}{3v},\quad v(1)=0,
que é uma equação diferencial ordinária de variáveis separáveis. Vamos separar as variáveis e integrar para achar v(x).

Passo 2

Reescrevemos isolando os termos em v de um lado e em x do outro:
x\,\frac{dv}{dx} = \frac{1 - 4v^2}{3v} \quad\Longrightarrow\quad \frac{3v}{1 - 4v^2}\,dv = \frac{dx}{x}.

Passo 3

Integramos ambos os lados:
\int \frac{3v}{1 - 4v^2}\,dv = \int \frac{dx}{x}.
Para a integral à esquerda, façamos u = 1 - 4v^2, logo du = -8v\,dv. Assim,
\int \frac{3v}{1 - 4v^2}\,dv = -\frac{3}{8}\int \frac{du}{u} = -\frac{3}{8}\ln\bigl|u\bigr| + C_1 = -\frac{3}{8}\ln\bigl|1 - 4v^2\bigr| + C_1.
À direita,
\int \frac{dx}{x} = \ln|x| + C_2.

Passo 4

Igualando e absorvendo constantes C = C_2 - C_1:
-\frac{3}{8}\ln\bigl|1 - 4v^2\bigr| = \ln|x| + C \quad\Longrightarrow\quad \ln\bigl|1 - 4v^2\bigr| = -\tfrac{8}{3}\ln|x| + C'.
Fazendo a exponenciação e definindo K = e^{C'}:
\bigl|1 - 4v^2\bigr| = K\,x^{-\tfrac{8}{3}}.
Como x>0, podemos tirar valores absolutos e aplicar a condição inicial v(1)=0:
1 - 4\cdot0^2 = K\cdot1^{-\tfrac{8}{3}} \;\Longrightarrow\; K = 1.
Logo
1 - 4v^2 = x^{-\tfrac{8}{3}}.

Passo 5

Isolando v:
4v^2 = 1 - x^{-\tfrac{8}{3}} \quad\Longrightarrow\quad v^2 = \tfrac{1}{4}\bigl(1 - x^{-\tfrac{8}{3}}\bigr) \quad\Longrightarrow\quad v(x) = \pm \frac{1}{2}\sqrt{\,1 - x^{-\tfrac{8}{3}}\,}.
Observe que em x=1 ambas as ramificações dão v(1)=0. A falta de unicidade é causada pelo fato de a função do lado direito não ser Lipschitz em v=0.

Resposta

(a) Resolvido.

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