Encontre o limite de cada função
lim x +infty(1+2x)^x+1

Passo 1

O enunciado pede o limite
limxto+inftyl(1+tfrac2xr)^x+1
O conteúdo principal é o limite que define a função exponencial e^a, pois sabemos que
limxto+inftyl(1+axr)^x=e^a

Passo 2

Vamos reescrever a potência de modo a separar a parte que lembra a definição de e^a. Note que
l(1+tfrac2xr)^x+1 =l(1+tfrac2xr)^x,l(1+tfrac2xr)

Passo 3

Agora aplicamos limites em cada fator:
  1. Pela definição de e^a com a=2, temos limxto+inftyl(1+tfrac2xr)^x=e^2
  2. É claro que limxto+inftyl(1+tfrac2xr)=1
Pelo teorema do produto de limites,
limxto+inftyl(1+tfrac2xr)^x+1 =l(limxto+inftyl(1+tfrac2xr)^xr) cdotl(limxto+inftyl(1+tfrac2xr)r) =e^2cdot1

Resposta

e^2

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