Encontre o limite de cada função
lim x +infty(1+34 x)^x

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
limxto+inftyl(1+34xr)^x
O conteúdo aqui é uso de limites envolvendo exponencial e logaritmo, em particular o fato de que
limuto0(1+u)^1/u=e

Passo 2

Fazemos a mudança de variável u=tfrac34x. Quando xto+infty, temos uto0^+. Além disso
1+34x=1+u, x=34u
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l(1+34xr)^x =(1+u)^34u =l[(1+u)^1/ur]^34

Passo 3

Como sabemos que
limuto0^+(1+u)^1/u=e,
segue que
limxto+inftyl(1+34xr)^x =l(er)^34 =e^tfrac34

Resposta

e^tfrac34

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