Encontre o limite de cada função
lim x +infty(raizx+raizx-raizx-2)

Passo 1

O enunciado pede
limxto+inftyl(raizx+raizx-raizx-2r)
Como cada termo cresce como raizx, temos uma forma indeterminada do tipo infty-infty. Para resolver, vamos usar a técnica de racionalizar a diferença com o conjugado.

Passo 2

Multiplicamos e dividimos pela soma conjugada raizx+raizx+raizx-2. Primeiro bloco de cálculo:
raizx+raizx-raizx-2 =l(raizx+raizx-raizx-2r)l(raizx+raizx+raizx-2r) raizx+raizx+raizx-2
=(x+raizx)-(x-2)raizx+raizx+raizx-2 =raizx+2raizx+raizx+raizx-2

Passo 3

Agora temos
raizx+2raizx+raizx+raizx-2
Para estudar o limite, é útil fatorar raizx em cada radical do denominador.

Passo 4

Note que
raizx+raizx=raizx,raiz1+tfrac1raizx, raizx-2=raizx,raiz1-tfrac2x
Logo a expressão vira
raizx+2raizxl(raiz1+tfrac1raizx+raiz1-tfrac2xr) =1 + tfrac2raizx raiz1+tfrac1raizx+raiz1-tfrac2x

Passo 5

Ao tomar xto+infty, temos tfrac2raizxto0, tfrac1raizxto0 e tfrac2xto0. Assim
limxto+infty 1 + tfrac2raizx raiz1+tfrac1raizx+raiz1-tfrac2x =1+0raiz1+0+raiz1-0 =11+1 =tfrac12

Resposta

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