Encontre o limite de cada função quando x infty e x -infty.
lim x -infty(x+raizx^2+2 x)

Passo 1

O enunciado pede para determinar os limites da função
f(x)=x+raizx^2+2x
quando xto+infty e quando xto-infty. O principal ingrediente é saber como tratar a raiz de uma expressão quadrática para x grande, fatorando x fora da raiz e lembrando que raizx^2=|x|.

Passo 2

Analisando xto+infty, temos x>0 então raizx^2+2x=xraiz1+tfrac2x. Logo,
f(x) = x + xraiz1+2x = xl(1+raiz1+tfrac2xr)
Como raiz1+tfrac2xto1 quando xto+infty, segue
f(x)sim x(1+1)=2xto+infty

Passo 3

Agora para xto-infty, temos x<0 e raizx^2+2x=|x|raiz1+tfrac2x=-xraiz1+tfrac2x. Assim
f(x) = x - xraiz1+2x = xl(1-raiz1+tfrac2xr)
Para extrair o valor de limxto-inftyf(x) podemos usar a expansão
raiz1+2x =1+1x-12x^2+cdots,
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1-raiz1+tfrac2x =-1x+12x^2+cdots
e
f(x) = xl(-tfrac1x+tfrac12x^2+cdotsr) =-1+12x+cdots ;longrightarrow;-1

Resposta

limxto+inftyl(x+raizx^2+2xr)=+infty, limxto-inftyl(x+raizx^2+2xr)=-1

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