Exercício 20. Seja f=u+i v uma função inteira. Prove que se u(z) <= 0 para todo z in C, então f é constante.

Passo 1

O enunciado quer mostrar que toda função inteira f=u+iv cuja parte real u(z) está limitada por cima (mais precisamente u(z)<=0 em C) é constante. O conteúdo principal usado será o Teorema de Liouville (uma função inteira e limitada é constante) aplicado à composição com a função exponencial, que preserva a entireness.

Passo 2

Definimos a função
g(z)=e^f(z)=e^u(z)+i,v(z)=e^u(z)l(cos v(z)+isin v(z)r)
Como a exponencial é inteira e f é inteira, a composição g=ecirc f também é inteira. Além disso, de u(z)<=0 segue
lvert g(z)rvert = e^u(z);<=;1 forall zinC,
logo g é limitada no plano inteiro.

Passo 3

Pelo Teorema de Liouville, uma função inteira e limitada é constante. Portanto existe AinC tal que
g(z)=A forall zinC

Passo 4

Como g(z)=Aneq0, temos
e^f(z)=A Longrightarrow f(z)=log A+2pi i k(z),
onde k(z)inZ. Mas f é contínua e C é conexo, então k(z) não pode saltar de valor: k(z) é constante. Logo f(z) é a soma de constantes, isto é, é constante.

Resposta

f é constante.

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