Exercício 20. Seja
uma função inteira. Prove que se
para todo
, então
é constante.
Passo 1
O enunciado quer mostrar que toda função inteira
cuja parte real
está limitada por cima (mais precisamente
em
) é constante. O conteúdo principal usado será o Teorema de Liouville (uma função inteira e limitada é constante) aplicado à composição com a função exponencial, que preserva a entireness.
Passo 2
Definimos a função
Como a exponencial é inteira e
é inteira, a composição
também é inteira. Além disso, de
segue
logo
é limitada no plano inteiro.
Passo 3
Pelo Teorema de Liouville, uma função inteira e limitada é constante. Portanto existe
tal que
Passo 4
Como
, temos
onde
. Mas
é contínua e
é conexo, então
não pode saltar de valor:
é constante. Logo
é a soma de constantes, isto é, é constante.