Exercício 19. Mostre que a função f(z)=1z, z in C, não possui primitiva em C backslash0.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função
f(z)=1z, definida em Csetminus0, não possui primitiva nesse domínio.
Conteúdo envolvido: conceitos de primitiva (antiderivada) em análise complexa e o Teorema de Cauchy para contornos fechados.

Passo 2

Suponha, por absurdo, que exista uma função Fcolon Csetminus0toC tal que
F'(z)=f(z)=1z
para todo zneq0. Então, pelo Teorema Fundamental do Cálculo em variável complexa, a integral de f ao longo de qualquer curva fechada gamma no domínio deve ser zero:
ointgamma 1z,dz = 0

Passo 3

Escolhemos a curva gamma como o círculo unitário e^it: 0<= t<= 2pi. Parametrização:
z(t)=e^it, z'(t)=ie^it, tin[0,2pi]
Então
ointgamma 1z,dz = integral0^2pi 1e^it; ie^it,dt = integral0^2pi i,dt = 2pi i

Passo 4

Obtivemos
ointgamma 1z,dz = 2pi i neq 0,
o que contradiz a condição necessária para existir primitiva (todas as integrais sobre curvas fechadas teriam de ser zero). Portanto não pode existir F tal que F'(z)=1/z em Csetminus0.

Resposta

A função f(z)=1z não possui primitiva em Csetminus0.

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