Exercício 19. Mostre que a função
, não possui primitiva em
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a função
, definida em
, não possui primitiva nesse domínio.
Conteúdo envolvido: conceitos de primitiva (antiderivada) em análise complexa e o Teorema de Cauchy para contornos fechados.
Conteúdo envolvido: conceitos de primitiva (antiderivada) em análise complexa e o Teorema de Cauchy para contornos fechados.
Passo 2
Suponha, por absurdo, que exista uma função
tal que
para todo
. Então, pelo Teorema Fundamental do Cálculo em variável complexa, a integral de
ao longo de qualquer curva fechada
no domínio deve ser zero:
Passo 3
Escolhemos a curva
como o círculo unitário
. Parametrização:
Então
Passo 4
Obtivemos
o que contradiz a condição necessária para existir primitiva (todas as integrais sobre curvas fechadas teriam de ser zero). Portanto não pode existir
tal que
em
.
Resposta
A função
não possui primitiva em
.