Encontre o limite ou demonstre que não existe.
\lim _{x \rightarrow-2} \frac{e^{3 x}-e^{-3 x}}{e^{3 x}+e^{-3 x}}

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{x\to -2}\frac{e^{3x}-e^{-3x}}{e^{3x}+e^{-3x}}.
Informações dadas e observações iniciais que valem para a resolução:
  • A expressão é uma razão entre duas combinações de exponenciais: o numerador é e^{3x}-e^{-3x} e o denominador é e^{3x}+e^{-3x}.
  • Para todo x\in\mathbb{R} temos e^{3x}>0 e e^{-3x}>0, logo o denominador e^{3x}+e^{-3x} é sempre estritamente positivo (não se anula).
  • O ponto onde pedem o limite é x=-2.

Passo 2

Comentário sobre método: como as funções exponenciais são contínuas e o denominador não é zero em x=-2, a função dada é contínua em x=-2. Isso justifica que podemos calcular o limite simplesmente avaliando a expressão no ponto x=-2. Antes de substituir, vamos manipular algebricamente a expressão para deixar tudo bem claro e didático.

Passo 3

Vamos fatorar e^{3x} do numerador e do denominador para simplificar. Escrevendo passo a passo:
\frac{e^{3x}-e^{-3x}}{e^{3x}+e^{-3x}} = \frac{e^{3x}\bigl(1-e^{-6x}\bigr)}{e^{3x}\bigl(1+e^{-6x}\bigr)}.
Aqui fizemos e^{-3x}=e^{3x}\cdot e^{-6x}, por isso ao fatorar e^{3x} aparece e^{-6x} dentro dos parênteses.

Passo 4

Como e^{3x}\neq 0 para todo x, podemos cancelar o fator e^{3x} no numerador e no denominador. Assim a expressão simplifica para
\frac{1-e^{-6x}}{1+e^{-6x}}.

Passo 5

Agora aplicamos o limite x\to -2. A função x\mapsto e^{-6x} é contínua, então podemos substituir x=-2 diretamente em e^{-6x}. Calculamos o expoente:
-6x\Big|_{x=-2} = -6\cdot(-2)=12,
logo e^{-6x}\to e^{12} quando x\to -2.

Passo 6

Substituindo e^{-6x} por e^{12} na expressão simplificada, obtemos
\frac{1-e^{12}}{1+e^{12}}.
Podemos também escrever de forma equivalente como
-\frac{e^{12}-1}{e^{12}+1},
se quiser ver que o resultado é negativo (já que e^{12}>1).

Passo 7

Comentário extra (opcional, só para entendimento): a expressão original é a função hiperbólica \operatorname{tanh}(3x), porque por definição
\operatorname{tanh}(y)=\frac{e^{y}-e^{-y}}{e^{y}+e^{-y}}.
Logo a expressão é \operatorname{tanh}(3x) e o limite é \operatorname{tanh}(3\cdot(-2))=\operatorname{tanh}(-6)=-\operatorname{tanh}(6), que é coerente com o resultado acima.

Resposta

\dfrac{1-e^{12}}{1+e^{12}}

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