Encontre o limite ou demonstre que não existe.
lim x -infty e^x

Passo 1

Neste exercício, a gente quer calcular limxto -inftye^x. O conteúdo é limite de função exponencial, e vamos precisar usar a propriedade de que e^x decresce para zero quando x vai a -infty.

Passo 2

A função e^x é sempre positiva e monotonicamente crescente em R, ou seja, quanto menor o valor de x, menor é e^x. Intuitivamente, ao levar x para -infty, e^x fica cada vez mais próximo de zero.
Para formalizar, faça a mudança de variável t=-x. Quando xto -infty, temos tto +infty e
e^x=e^-t=1e^t

Passo 3

Como sabemos que e^tto +infty para tto +infty, segue que 1/e^tto 0. Portanto, e^xto 0 quando xto -infty.
Para reforçar com a definição de limite: dado varepsilon>0, escolha M=ln(1/varepsilon). Se x< -M, então -x>M e
e^x=1e^-x<1e^M=varepsilon

Passo 4

Isso mostra que para todo varepsilon>0 existe M>0 tal que, sempre que x< -M, temos |e^x-0|.

Resposta

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