Obtenha a solução geral para a equação.

Passo 1

A equação dada é x dydx + 2y = x^-3. Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem e vamos usar o método do fator integrante para resolvê-la.

Passo 2

Dividimos tudo por x para escrever na forma padrão dydx + p(x),y = q(x). Ficamos com dydx + 2xy = x^-4, onde p(x)=2/x e q(x)=x^-4.
O fator integrante mu(x) é dado por expl(integral p(x),dxr)=expl(integral 2x,dxr)=x^2.

Passo 3

Multiplicando a equação por mu(x)=x^2, obtemos
x^2 dydx + 2x,y = x^-2
O lado esquerdo corresponde a ddx(x^2 y).
Escrevemos então a equação como ddx(x^2 y) = x^-2 e integramos ambos os lados em relação a x.
Da integração surge
x^2 y = integral x^-2,dx = -x^-1 + C,
onde C é a constante de integração.

Resposta

y = C x^-2 - x^-3

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