Um tanque contém 100 litros de uma solução a uma concentração de 1 grama por litro. Uma solução com uma concentração de
gramas por litro entra no tanque a uma taxa constante de 1 litro por minuto, enquanto que a solução bem misturada sai à mesma taxa.
(a) Determine a quantidade de sal no tanque em cada instante
, onde
é contado a partir do inicio do processo.
(b) Calcule a concentração de sal no tanque
10 minutos após o inicio do processo.
(a) Determine a quantidade de sal no tanque em cada instante
(b) Calcule a concentração de sal no tanque
Passo 1
O enunciado trata de um tanque de volume constante (100 L) onde entra e sai solução à mesma vazão (1 L/min), porém a concentração de entrada varia com o tempo:
g/L. Queremos achar a quantidade de sal
no tanque ao tempo
e depois a concentração no instante
min. Vamos usar o modelo de mistura e resolver uma EDO linear de primeira ordem.
Passo 2
Em sistemas de mistura com vazões iguais, a variação de massa de sal
é dada por entrada menos saída. Como a vazão é 1 L/min, a entrada de sal por minuto é
g/min. A saída é a concentração no tanque
g/L vezes 1 L/min, ou seja,
g/min. Assim montamos a EDO:
olho na equação diferencial
olho na equação diferencial
Resposta
(a) A solução da EDO com condição inicial
é
(b) A concentração no tanque aos 10 min é