Um tanque contém 100 litros de uma solução a uma concentração de 1 grama por litro. Uma solução com uma concentração de 2 t e^-1100 t gramas por litro entra no tanque a uma taxa constante de 1 litro por minuto, enquanto que a solução bem misturada sai à mesma taxa.
(a) Determine a quantidade de sal no tanque em cada instante t, onde t é contado a partir do inicio do processo.
(b) Calcule a concentração de sal no tanque t= 10 minutos após o inicio do processo.

Passo 1

O enunciado trata de um tanque de volume constante (100 L) onde entra e sai solução à mesma vazão (1 L/min), porém a concentração de entrada varia com o tempo: cin(t)=2t e^-t/100 g/L. Queremos achar a quantidade de sal S(t) no tanque ao tempo t e depois a concentração no instante t=10 min. Vamos usar o modelo de mistura e resolver uma EDO linear de primeira ordem.

Passo 2

Em sistemas de mistura com vazões iguais, a variação de massa de sal S(t) é dada por entrada menos saída. Como a vazão é 1 L/min, a entrada de sal por minuto é cin(t)times1=2t e^-t/100 g/min. A saída é a concentração no tanque S(t)/100 g/L vezes 1 L/min, ou seja, S(t)/100 g/min. Assim montamos a EDO:
olho na equação diferencial
dSdt=2t e^-t/100-S100

Resposta

(a) A solução da EDO com condição inicial S(0)=100 é
S(t)=l(t^2+100r)e^-t/100 (em gramas)
(b) A concentração no tanque aos 10 min é
S(10)100=2e^-0.1approx1.8097 g/L

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