Encontre o limite ou demonstre que não existe
\lim _{x \rightarrow 5^{-}} \frac{x+1}{x-5}

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite lateral
\lim_{x\to 5^{-}} \frac{x+1}{x-5}.
Informações dadas e o que devemos observar:
  • A função é \displaystyle \frac{x+1}{x-5}.
  • O ponto para o qual x se aproxima é x=5, vindo pela esquerda (ou seja, x<5 e se aproxima de 5).
  • Note que em x=5 o denominador é zero, então a expressão não está definida exatamente em x=5; por isso esperamos ou um número finito ou uma divergência (tendência a +\infty ou -\infty).

Passo 2

Vamos estudar separadamente o numerador e o denominador quando x se aproxima de 5 pela esquerda.
  • Numerador: \;x+1. Quando x\to5 temos \;x+1\to 6. Ou seja, perto de 5 o numerador fica próximo de 6, portanto positivo e distante de zero.
  • Denominador: \;x-5. Para x<5 este termo é negativo; ao aproximarmos x de 5 pela esquerda temos \;x-5\to 0^{-} (tende a zero com sinal negativo).
Conclusão intuitiva: numerador tende a um número positivo ( 6) e denominador tende a zero pelo lado negativo, portanto a fração deve tomar valores negativos com módulo crescendo sem limite — ou seja, tender para -\infty. Vamos tornar isso mais explícito com uma substituição simples.

Passo 3

Fazemos a substituição conveniente para formalizar o comportamento: escreva x = 5 - h com h>0 e h\to 0^{+} (isso representa x\to 5^{-}). Substituindo,
\frac{x+1}{x-5} = \frac{(5-h)+1}{(5-h)-5} = \frac{6-h}{-h} = -\,\frac{6-h}{h}.
Agora observe que para h\to 0^{+} temos \displaystyle \frac{6-h}{h} \to +\infty (pois o numerador tende a 6>0 enquanto h tende a 0^{+}). Logo
-\,\frac{6-h}{h} \to -\infty.
Isso confirma de forma direta que a expressão tende a -\infty quando x\to5^{-}.

Passo 4

Vou fazer também uma demonstração no estilo “definição de limite infinito” para deixar totalmente rigoroso: queremos mostrar que para qualquer M>0 existe \delta>0 tal que, se 0<5-x<\delta (ou seja, x\in(5-\delta,5)), então
\frac{x+1}{x-5} < -M.
Escolha \delta = \min\!\left(1,\frac{5}{M}\right). Para x\in(5-\delta,5) temos x>4, portanto x+1>5. Assim
\frac{x+1}{x-5} = -\frac{x+1}{5-x} < -\frac{5}{5-x}.
Como 0<5-x<\delta então \displaystyle \frac{5}{5-x} > \frac{5}{\delta} \ge M. Portanto -\dfrac{5}{5-x} < -M, e assim
\frac{x+1}{x-5} < -M,
o que prova que a função fica arbitrariamente negativa quando x se aproxima de 5 pela esquerda. Isso é exatamente a definição de limite que diverge para -\infty.

Resposta

-\infty

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