Encontre o limite ou demonstre que não existe
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite lateral
Informações dadas e o que devemos observar:
- A função é
. - O ponto para o qual
se aproxima é , vindo pela esquerda (ou seja, e se aproxima de ). - Note que em
o denominador é zero, então a expressão não está definida exatamente em ; por isso esperamos ou um número finito ou uma divergência (tendência a ou ).
Passo 2
Vamos estudar separadamente o numerador e o denominador quando
se aproxima de
pela esquerda.
- Numerador:
. Quando temos . Ou seja, perto de o numerador fica próximo de , portanto positivo e distante de zero. - Denominador:
. Para este termo é negativo; ao aproximarmos de pela esquerda temos (tende a zero com sinal negativo).
Conclusão intuitiva: numerador tende a um número positivo (
) e denominador tende a zero pelo lado negativo, portanto a fração deve tomar valores negativos com módulo crescendo sem limite — ou seja, tender para
. Vamos tornar isso mais explícito com uma substituição simples.
Passo 3
Fazemos a substituição conveniente para formalizar o comportamento: escreva
com
e
(isso representa
). Substituindo,
Agora observe que para
temos
(pois o numerador tende a
enquanto
tende a
). Logo
Isso confirma de forma direta que a expressão tende a
quando
.
Passo 4
Vou fazer também uma demonstração no estilo “definição de limite infinito” para deixar totalmente rigoroso: queremos mostrar que para qualquer
existe
tal que, se
(ou seja,
), então
Escolha
. Para
temos
, portanto
. Assim
Como
então
. Portanto
, e assim
o que prova que a função fica arbitrariamente negativa quando
se aproxima de
pela esquerda. Isso é exatamente a definição de limite que diverge para
.