Encontre o limite ou demonstre que não existe
\lim _{x \rightarrow \infty}\left(3 x^{5}-4 x^{3}+1\right)

Passo 1

O enunciado pede que eu encontre o valor do limite
\lim_{x\to\infty}\left(3x^{5}-4x^{3}+1\right).
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A função cujo limite devemos analisar é o polinômio \;3x^{5}-4x^{3}+1\;.
  • O ponto para o qual x tende é +\infty.
  • Não há outras condições ou restrições; o domínio natural aqui é todos os reais, e estamos apenas olhando o comportamento quando x cresce sem bound.

Passo 2

Conceito-chave que vamos usar (explicado devagar): em um polinômio, o termo de maior grau — chamado termo dominante — controla o comportamento quando x vai para +\infty. Se o polinômio é
a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \dots + a_0,
com a_n\neq0 e n o grau, então para x muito grande os outros termos ficam muito menores em comparação com a_n x^n. Por exemplo, pense em x^2+3x+1: para x=100 o termo x^2=10000 domina os 3x=300 e 1.
No nosso caso, o termo dominante é \;3x^5\; porque o maior expoente é 5 e o coeficiente é 3>0.

Passo 3

Uma forma prática e rigorosa de mostrar isso é fatorar x^5 (o maior potência presente) da expressão. Faço isso passo a passo:
3x^{5}-4x^{3}+1 = x^5\left(3 - \frac{4x^{3}}{x^5} + \frac{1}{x^5}\right).
Agora simplifico as frações dentro do parêntese dividindo potências:
x^5\left(3 - \frac{4}{x^2} + \frac{1}{x^5}\right).

Passo 4

Estudo o comportamento do parêntese quando x\to\infty. Cada uma das frações tende a zero:
\lim_{x\to\infty}\frac{4}{x^2}=0,\qquad \lim_{x\to\infty}\frac{1}{x^5}=0.
Portanto, pelo limite de soma/produto de funções,
\lim_{x\to\infty}\left(3 - \frac{4}{x^2} + \frac{1}{x^5}\right)=3.
Ou seja, o fator entre parênteses aproxima-se de 3 quando x cresce.

Passo 5

Agora tenho a expressão como produto de dois fatores:
x^5\quad\text{e}\quad\left(3 - \frac{4}{x^2} + \frac{1}{x^5}\right).
Sabemos que \lim_{x\to\infty} x^5 = +\infty (uma potência positiva cresce sem limite) e que o segundo fator tende para 3, que é um número positivo. Para transformar essa informação em conclusão sobre o produto, argumento assim: como o segundo fator tende a 3, existe um X>0 tal que, para todo x\ge X,
\left(3 - \frac{4}{x^2} + \frac{1}{x^5}\right) > 1\qquad(\text{por exemplo, basta escolher }X\text{ grande o bastante}).
Para tais x temos
x^5\left(3 - \frac{4}{x^2} + \frac{1}{x^5}\right) > x^5\cdot 1 = x^5.
Como \lim_{x\to\infty} x^5 = +\infty, segue que o produto também tende a +\infty. Em palavras: fator dominante positivo de grau ímpar faz a função ir para +\infty quando x\to+\infty.

Resposta

+\infty

Exercícios relacionados