Encontre o limite ou demonstre que não existe
Passo 1
O enunciado pede que eu encontre o valor do limite
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- •A função cujo limite devemos analisar é o polinômio
. - •O ponto para o qual
tende é . - •Não há outras condições ou restrições; o domínio natural aqui é todos os reais, e estamos apenas olhando o comportamento quando
cresce sem bound.
Passo 2
Conceito-chave que vamos usar (explicado devagar): em um polinômio, o termo de maior grau — chamado termo dominante — controla o comportamento quando
vai para
. Se o polinômio é
com
e
o grau, então para
muito grande os outros termos ficam muito menores em comparação com
. Por exemplo, pense em
: para
o termo
domina os
e
.
No nosso caso, o termo dominante é
porque o maior expoente é
e o coeficiente é
.
Passo 3
Uma forma prática e rigorosa de mostrar isso é fatorar
(o maior potência presente) da expressão. Faço isso passo a passo:
Agora simplifico as frações dentro do parêntese dividindo potências:
Passo 4
Estudo o comportamento do parêntese quando
. Cada uma das frações tende a zero:
Portanto, pelo limite de soma/produto de funções,
Ou seja, o fator entre parênteses aproxima-se de
quando
cresce.
Passo 5
Agora tenho a expressão como produto de dois fatores:
Sabemos que
(uma potência positiva cresce sem limite) e que o segundo fator tende para
, que é um número positivo. Para transformar essa informação em conclusão sobre o produto, argumento assim: como o segundo fator tende a
, existe um
tal que, para todo
,
Para tais
temos
Como
, segue que o produto também tende a
. Em palavras: fator dominante positivo de grau ímpar faz a função ir para
quando
.