Encontre o limite ou demonstre que não existe
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite
Informações dadas:
aproxima-se de
pela direita (ou seja,
e
).
A função em questão é .
Pergunta: qual é o valor do limite quando tende a
pela direita; se não existir, demonstrar que não existe.
A função em questão é
Pergunta: qual é o valor do limite quando
Passo 2
Entendendo a função
de forma didática:
A função (logaritmo natural) está definida apenas para
. Algumas propriedades importantes e intuitivas que vamos usar:
A função
-
é contínua em todo . - Quando
fica muito pequeno e positivo (isto é, ), então tende a . Um exemplo numérico para sentir isso: , , . Ou seja, quanto menor , mais negativo fica — e vai sem limite para .
Passo 3
Fatorando a expressão dentro do logaritmo (isso ajuda a ver o que acontece quando
):
Quando
temos
(tende a zero por valores positivos) e
. Portanto o produto
tende a
. Conclusão intuitiva: o argumento do
tende a zero pela direita, e pela propriedade do passo anterior isso sugere que o
tende a
.
Passo 4
Para tornar a justificativa mais clara, podemos escrever a ideia em termos de limites de forma direta: seja
Então, ao aproximar
de
pela direita,
. Como sabemos que
pela composição de limites (onde isso faz sentido), obtemos
Isto já é suficiente para a conclusão, mas vou fazer uma prova mais formal (estilo
-argumento adaptado para divergência a
) para você saber justificar numa prova.
Passo 5
Prova formal de que o limite é
:
Queremos mostrar: para qualquer número real
existe
tal que, se
então
. Isso expressa que a função vai abaixo de qualquer limite negativo pedido quando
fica suficientemente perto de
pela direita.
Escolha um intervalo pequeno para controlar
. Por exemplo, se
então
e daí
Assim, para
temos
Agora, dado
, defina
Se
então
e
Tomando logaritmo (função estritamente crescente), obtemos
Como isto vale para todo
com um
apropriado, isso prova que
fica arbitrariamente negativo quando
. Portanto
Passo 6
Resumo intuitivo e checagem numérica rápida para ganhar confiança: para
muito próximo de
pela direita,
é muito pequeno e
é aproximadamente
, então
é um número pequeno e positivo. O
de um número pequeno e positivo é um número grande negativo, e quanto mais perto de
estamos, mais negativo fica o
. Exemplos: para
temos
e
; para
fica ainda menor e o
ainda mais negativo. Tudo isso confirma a conclusão formal.