Encontre o limite ou demonstre que não existe
\lim _{x \rightarrow 5^{+}} \ln \left(x^{2}-25\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x \to 5^{+}} \ln\left(x^{2}-25\right).
Informações dadas:
x aproxima-se de 5 pela direita (ou seja, x>5 e x\to5).
A função em questão é x\mapsto \ln\big(x^{2}-25\big).
Pergunta: qual é o valor do limite quando x tende a 5 pela direita; se não existir, demonstrar que não existe.

Passo 2

Entendendo a função \ln(\cdot) de forma didática:
A função \ln(t) (logaritmo natural) está definida apenas para t>0. Algumas propriedades importantes e intuitivas que vamos usar:
  • \ln(t) é contínua em todo (0,\infty).
  • Quando t fica muito pequeno e positivo (isto é, t\to0^{+}), então \ln(t) tende a -\infty. Um exemplo numérico para sentir isso: \ln(1)=0, \ln\big(0,1\big)\approx-2{,}3026, \ln\big(0,01\big)\approx-4{,}6052. Ou seja, quanto menor t>0, mais negativo fica \ln(t) — e vai sem limite para -\infty.

Passo 3

Fatorando a expressão dentro do logaritmo (isso ajuda a ver o que acontece quando x\to5^{+}):
x^{2}-25=(x-5)(x+5).
Quando x\to5^{+} temos x-5\to0^{+} (tende a zero por valores positivos) e x+5\to10. Portanto o produto (x-5)(x+5) tende a 0^{+}. Conclusão intuitiva: o argumento do \ln tende a zero pela direita, e pela propriedade do passo anterior isso sugere que o \ln tende a -\infty.

Passo 4

Para tornar a justificativa mais clara, podemos escrever a ideia em termos de limites de forma direta: seja
t(x)=x^{2}-25.
Então, ao aproximar x de 5 pela direita, t(x)\to0^{+}. Como sabemos que
\lim_{t\to0^{+}}\ln(t)=-\infty,
pela composição de limites (onde isso faz sentido), obtemos
\lim_{x\to5^{+}}\ln\big(x^{2}-25\big) = \lim_{t\to0^{+}}\ln(t) = -\infty.
Isto já é suficiente para a conclusão, mas vou fazer uma prova mais formal (estilo \varepsilon-argumento adaptado para divergência a -\infty) para você saber justificar numa prova.

Passo 5

Prova formal de que o limite é -\infty:
Queremos mostrar: para qualquer número real A>0 existe \delta>0 tal que, se 0<x-5<\delta então \ln\big(x^{2}-25\big)<-A. Isso expressa que a função vai abaixo de qualquer limite negativo pedido quando x fica suficientemente perto de 5 pela direita.
Escolha um intervalo pequeno para controlar x+5. Por exemplo, se 0<x-5<1 então 5<x<6 e daí
10 < x+5 < 11.
Assim, para x\in(5,6) temos
x^{2}-25=(x-5)(x+5) < 11(x-5).
Agora, dado A>0, defina
\delta=\min\Big\{1,\;\frac{e^{-A}}{11}\Big\}.
Se 0<x-5<\delta então x\in(5,6) e
x^{2}-25 < 11(x-5) < 11\delta \le 11\cdot\frac{e^{-A}}{11}=e^{-A}.
Tomando logaritmo (função estritamente crescente), obtemos
\ln\big(x^{2}-25\big) < \ln\big(e^{-A}\big) = -A.
Como isto vale para todo A>0 com um \delta apropriado, isso prova que \ln\big(x^{2}-25\big) fica arbitrariamente negativo quando x\to5^{+}. Portanto
\lim_{x\to5^{+}}\ln\big(x^{2}-25\big)=-\infty.

Passo 6

Resumo intuitivo e checagem numérica rápida para ganhar confiança: para x muito próximo de 5 pela direita, x-5 é muito pequeno e x+5 é aproximadamente 10, então x^{2}-25\approx 10(x-5) é um número pequeno e positivo. O \ln de um número pequeno e positivo é um número grande negativo, e quanto mais perto de 5 estamos, mais negativo fica o \ln. Exemplos: para x=5{,}01 temos x^{2}-25\approx0{,}1001 e \ln(0{,}1001)\approx-2{,}302; para x=5{,}001 fica ainda menor e o \ln ainda mais negativo. Tudo isso confirma a conclusão formal.

Resposta

-\infty

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