Determine os limites, caso exista
Passo 1
O enunciado pede para determinar o limite
Informações dadas:
(o ponto de interesse é
).
A função é dada por um produto entre a razão
e uma função por partes: para
usamos
e para
usamos
.
O enunciado está formulado, então vamos usar essas informações para decidir se o limite existe e, se existir, calcular seu valor.]
Passo 2
Vamos manipular a fração
para ver sua forma quando
. Primeiro fatoramos o polinômio do numerador. Para fatorar
procuramos dois números cujo produto seja
e soma seja
. Esses números são
e
. Logo
Portanto, para
temos a simplificação
Observação importante: essa igualdade vale apenas para
(não podemos cancelar
se
porque ali a expressão original é indefinida).
Passo 3
Como o ponto onde tomamos o limite é
e
, a parte relevante da função por partes é a rama para
, isto é, a expressão multiplicadora é
Portanto, para
próximos de
(e diferentes de
), a expressão dada pelo produto é
desde que essa expressão esteja bem definida (em
) para esses
.
Passo 4
Agora vamos analisar o domínio da função
no conjunto dos números reais. A raiz quadrada real
está definida em
apenas quando o radicando é não negativo:
Ou seja, a expressão real
só faz sentido para
. Para
a quantidade
não é um número real (é imaginária), então a função dada no enunciado não fornece valores reais para
.
Passo 5
Relembre a definição intuitiva de limite real: para existir
em
, a função
deve estar definida em pontos reais arbitrariamente próximos de
(em toda vizinhança pontilhada de
devem existir pontos do domínio). Aqui
. Mas, pelo que vimos, a rama usada para
só fornece valores reais quando
. Portanto NÃO existem pontos reais
com
em que a expressão seja definida em
. Em particular, não há pontos reais da forma
arbitrariamente próximos de
em que a função seja real e definida.
Por outro lado, a outra rama da função por partes (
) vale apenas para
, que também não fornece pontos que se aproximem de
. Conclusão combinada: não existe nenhum ponto real diferente de
e suficientemente próximo de
onde a função (como função de valores reais) esteja definida. Logo não há como formar uma vizinhança pontilhada de
dentro do domínio real da função.
Passo 6
Dado que não existem pontos reais da função arbitrariamente próximos de
, a noção de limite real em
não se aplica: não há sequência de pontos do domínio real que converja para
e, portanto, não podemos obter um valor limite real. Assim, o limite no sentido real não existe.
(Aviso opcional, só para clarear um possível mal-entendido.) Se alguém estender a função aos números complexos, poderia cancelar
e obter a expressão complexa
e, usando uma determinação da raiz quadrada complexa, avaliar no ponto
para obter um valor complexo. Mas isso sai do escopo de limites em
e tipicamente não é o que se pede em cálculo elementar.
Resposta
Não existe limite no conjunto dos números reais.