Determine os limites, caso exista
\lim _{x \rightarrow 2} \frac{x^{2}+x-6}{x-2} \left\{\begin{array}{l}1-\sqrt{1-x}, \quad x>0 \\\ x^{2}+1, \quad x \leq 0\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para determinar o limite
\lim_{x\to 2}\frac{x^{2}+x-6}{x-2}\begin{cases} 1-\sqrt{1-x}, & x>0,\\[4pt] x^{2}+1, & x\le 0. \end{cases}
Informações dadas:
\;x\to 2 (o ponto de interesse é 2).
A função é dada por um produto entre a razão \dfrac{x^{2}+x-6}{x-2} e uma função por partes: para x>0 usamos 1-\sqrt{1-x} e para x\le 0 usamos x^{2}+1.
O enunciado está formulado, então vamos usar essas informações para decidir se o limite existe e, se existir, calcular seu valor.]

Passo 2

Vamos manipular a fração \dfrac{x^{2}+x-6}{x-2} para ver sua forma quando x\neq 2. Primeiro fatoramos o polinômio do numerador. Para fatorar \;x^{2}+x-6\; procuramos dois números cujo produto seja -6 e soma seja 1. Esses números são 3 e -2. Logo
x^{2}+x-6=(x-2)(x+3).
Portanto, para x\neq 2 temos a simplificação
\frac{x^{2}+x-6}{x-2}=\frac{(x-2)(x+3)}{x-2}=x+3.
Observação importante: essa igualdade vale apenas para x\neq 2 (não podemos cancelar x-2 se x=2 porque ali a expressão original é indefinida).

Passo 3

Como o ponto onde tomamos o limite é x\to 2 e 2>0, a parte relevante da função por partes é a rama para x>0, isto é, a expressão multiplicadora é
1-\sqrt{1-x}\quad\text{quando }x>0.
Portanto, para x próximos de 2 (e diferentes de 2), a expressão dada pelo produto é
(x+3)\bigl(1-\sqrt{1-x}\bigr),
desde que essa expressão esteja bem definida (em \mathbb{R}) para esses x.

Passo 4

Agora vamos analisar o domínio da função \;1-\sqrt{1-x}\; no conjunto dos números reais. A raiz quadrada real \sqrt{1-x} está definida em \mathbb{R} apenas quando o radicando é não negativo:
1-x\ge 0 \quad\Longleftrightarrow\quad x\le 1.
Ou seja, a expressão real 1-\sqrt{1-x} só faz sentido para x\le 1. Para x>1 a quantidade \sqrt{1-x} não é um número real (é imaginária), então a função dada no enunciado não fornece valores reais para x>1.

Passo 5

Relembre a definição intuitiva de limite real: para existir \lim_{x\to a} f(x) em \mathbb{R}, a função f deve estar definida em pontos reais arbitrariamente próximos de a (em toda vizinhança pontilhada de a devem existir pontos do domínio). Aqui a=2. Mas, pelo que vimos, a rama usada para x>0 só fornece valores reais quando x\le 1. Portanto NÃO existem pontos reais x com 1<x<2 em que a expressão seja definida em \mathbb{R}. Em particular, não há pontos reais da forma x\neq 2 arbitrariamente próximos de 2 em que a função seja real e definida.
Por outro lado, a outra rama da função por partes ( x^{2}+1) vale apenas para x\le 0, que também não fornece pontos que se aproximem de 2. Conclusão combinada: não existe nenhum ponto real diferente de 2 e suficientemente próximo de 2 onde a função (como função de valores reais) esteja definida. Logo não há como formar uma vizinhança pontilhada de 2 dentro do domínio real da função.

Passo 6

Dado que não existem pontos reais da função arbitrariamente próximos de 2, a noção de limite real em x\to 2 não se aplica: não há sequência de pontos do domínio real que converja para 2 e, portanto, não podemos obter um valor limite real. Assim, o limite no sentido real não existe.
(Aviso opcional, só para clarear um possível mal-entendido.) Se alguém estender a função aos números complexos, poderia cancelar (x-2) e obter a expressão complexa (x+3)(1-\sqrt{1-x}) e, usando uma determinação da raiz quadrada complexa, avaliar no ponto x=2 para obter um valor complexo. Mas isso sai do escopo de limites em \mathbb{R} e tipicamente não é o que se pede em cálculo elementar.

Resposta

Não existe limite no conjunto dos números reais.

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