Encontre o limite ou demonstre que não existe.
\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{e^{3 x}-e^{-3 x}}{e^{3 x}+e^{-3 x}}

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x\to\infty}\frac{e^{3x}-e^{-3x}}{e^{3x}+e^{-3x}}
para x tendendo a infinito. Vamos usar manipulação de exponenciais para simplificar a expressão antes de aplicar o limite.

Passo 2

Fatoramos e^{3x} no numerador e no denominador, pois é a parte dominante quando x\to\infty:
\frac{e^{3x}-e^{-3x}}{e^{3x}+e^{-3x}} =\frac{e^{3x}\bigl(1-e^{-6x}\bigr)}{e^{3x}\bigl(1+e^{-6x}\bigr)}.

Passo 3

Cancelamos o fator comum e^{3x}:
\frac{e^{3x}\bigl(1-e^{-6x}\bigr)}{e^{3x}\bigl(1+e^{-6x}\bigr)} =\frac{1-e^{-6x}}{1+e^{-6x}}.

Passo 4

Quando x\to\infty, temos e^{-6x}\to0. Portanto
\lim_{x\to\infty}\frac{1-e^{-6x}}{1+e^{-6x}} =\frac{1-0}{1+0}=1.

Resposta

1

Exercícios relacionados