Calcule o limite justificando cada passagem com as propriedade dos limites que forem usadas.
\lim _{x \rightarrow \infty} \sqrt{\frac{12 x^{3}-5 x+2}{1+4 x^{2}+3 x^{3}}}

Passo 1

O enunciado pede calcular
\displaystyle \lim_{x\to\infty}\sqrt{\frac{12x^{3}-5x+2}{1+4x^{2}+3x^{3}}}.
O conteúdo envolvido é limite de função racional e uso da continuidade da função raiz. Vamos aplicar as propriedades de limites: soma, produto, quociente (quando o limite do denominador for ≠0) e a continuidade de \sqrt{\cdot} em [0,\infty).

Passo 2

Fatoramos x^3 no numerador e no denominador para pôr em evidência o comportamento assintótico:
\frac{12x^3 - 5x + 2}{1 + 4x^2 + 3x^3} = \frac{x^3\Bigl(12 - \tfrac{5}{x^2} + \tfrac{2}{x^3}\Bigr)}{x^3\Bigl(3 + \tfrac{4}{x} + \tfrac{1}{x^3}\Bigr)}.
Isso usa a propriedade \lim(a_n b_n)=\lim a_n\cdot\lim b_n e que x^3\neq0 para x\neq0.

Passo 3

Cancelamos o fator comum x^3 no numerador e no denominador, ficando
\frac{12 - \tfrac{5}{x^2} + \tfrac{2}{x^3}}{3 + \tfrac{4}{x} + \tfrac{1}{x^3}}.
Pela propriedade do limite do quociente, estudamos agora
\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{12 - \tfrac{5}{x^2} + \tfrac{2}{x^3}}{3 + \tfrac{4}{x} + \tfrac{1}{x^3}}.

Passo 4

Usando limite de soma e de constantes:
\lim_{x\to\infty}\Bigl(12 - \tfrac{5}{x^2} + \tfrac{2}{x^3}\Bigr) =12-0+0=12,
\lim_{x\to\infty}\Bigl(3 + \tfrac{4}{x} + \tfrac{1}{x^3}\Bigr) =3+0+0=3.
Logo o limite do quociente é 12/3=4.

Passo 5

Como \sqrt{y} é contínua para y\ge0, podemos levar o limite para dentro da raiz:
\lim_{x\to\infty}\sqrt{\frac{12x^3-5x+2}{1+4x^2+3x^3}} =\sqrt{\lim_{x\to\infty}\frac{12x^3-5x+2}{1+4x^2+3x^3}} =\sqrt{4}=2.

Resposta

2

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