Encontre o limite ou demostre que não existe
a) lim x -infty 5-4 x2 x-3;
b) lim x +infty 5 x^2-4 x+33 x+2;
c) lim x -infty 4 x-15 x^2+5 x-2;
d) lim x -infty raizx^2-2 x+2x+1;
e) lim x +infty(raiz9 x^2+x-3 x);
f) lim x -infty[ln (2+x)-ln (1+x)].

Passo 1

O enunciado pede para calcular seis limites quando x tende a +∞ ou -∞, envolvendo funções racionais, expressão com raiz quadrada e diferença de logaritmos. O conteúdo é limites no infinito, e vamos usar divisão pelo maior grau de x, racionalização de raízes e propriedades de logaritmos.

Passo 2

Para a) limxto-infty5-4x2x-3, ambos numerador e denominador têm grau 1. Dividindo em cima e embaixo por x:
5/x-42-3/xto0-42-0=-2
Logo o limite é -2.

Passo 3

Para b) limxto+infty5x^2-4x+33x+2, o numerador tem grau 2 e o denominador grau 1, então o quociente cresce sem limite. Dividindo tudo por x:
5x-4+3/x3+2/xsim5x3to+infty
Logo o limite é +infty.

Passo 4

Para c) limxto-infty4x-15x^2+5x-2, numerador grau 1 e denominador grau 2, então a fração tende a 0. Como o numerador fica negativo (quando x negativo) e o denominador positivo, o limite é 0 (pela definição, apenas 0).

Passo 5

Para d) limxto-inftyraizx^2-2x+2x+1, note que para x negativo |x|=-x. Então
raizx^2-2x+2x+1= rac|x|raiz1-2/x+2/x^2x(1+1/x)= rac-xraiz1-2/x+2/x^2x(1+1/x)=-raiz1-2/x+2/x^21+1/xto-1
Logo o limite é -1.

Passo 6

Para e) limxto+inftyl(raiz9x^2+x-3xr), racionalize:
raiz9x^2+x-3x=9x^2+x-9x^2raiz9x^2+x+3x=xraiz9x^2+x+3x
Divida em cima e embaixo por x:
1raiz9+1/x+3to13+3=16
Então o limite é tfrac16.

Passo 7

Para f) limxto-infty[ln(2+x)-ln(1+x)], use a propriedade de logaritmos:
lnx+2x+1=ln1+2/x1+1/xtoln1=0
Portanto o limite é 0.

Resposta

a) -2; b) +infty; c) 0; d) -1; e) tfrac16; f) 0.

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