Questão 1. Considere o seguinte PVI
Encontre a solução do PVI. Qual das seguintes alternativas representa a solução do PVI,
, calculada em
?
Passo 1
O enunciado pede para resolver o PVI de segunda ordem 4 y’’ − 16 y’ = 2 − 3 e^{−4t}, com y(0)=1/4 e y’(0)=127/32. O conteúdo é resolução de equação diferencial linear de 2º ordem com coeficientes constantes e termo não-homogêneo. Vamos precisar: caracterizar a solução geral (homogênea + particular) e aplicar as condições iniciais.
Passo 2
Encontrar a solução geral homogênea. A equação associada é 4 r^2 − 16 r=0, que factorizando dá 4 r(r−4)=0, logo r=0 e r=4. Assim
Passo 3
Propor uma solução particular y_p para o termo não-homogêneo 2−3 e^{−4t}. Como 2 é constante e r=0 já é raiz da homogênea, tentamos y_{p1}=A t para o 2, e como −4 não é raiz, tentamos y_{p2}=C e^{−4t}. Então
Passo 4
Calcular derivadas de y_p:
Passo 5
Substituir na equação 4y’‘−16y’=2−3e^{−4t}:
Passo 6
Comparar coeficientes: para e^{−4t} temos 128C=−3 ⇒ C=−3/128. Para termo constante −16A=2 ⇒ A=−1/8.
Assim a geral é
Assim a geral é
Passo 7
Aplicar y(0)=1/4:
Passo 8
Calcular y’(t):
Passo 9
e aplicar y’(0)=127/32:
Passo 10
Logo C_1=35/128−1=−93/128. Portanto
Passo 11
Avaliar em t=1:
Resposta
y(1)=e4-\tfrac{3}{128}e{−4}-\tfrac{109}{128}