Questão 1. Considere o seguinte PVI
l 4 y^prime prime-16 y^prime=2-3 e^-4 t y(0)=14, y^prime(0)=12732
Encontre a solução do PVI. Qual das seguintes alternativas representa a solução do PVI, y(t), calculada em t=1?
(c)y(1)=3132 e^4-3128 e^-4-89128
y(1)=147128 e^2-91128 e^-2-116 e^-4-18

Passo 1

O enunciado pede para resolver o PVI de segunda ordem 4 y’’ − 16 y’ = 2 − 3 e^{−4t}, com y(0)=1/4 e y’(0)=127/32. O conteúdo é resolução de equação diferencial linear de 2º ordem com coeficientes constantes e termo não-homogêneo. Vamos precisar: caracterizar a solução geral (homogênea + particular) e aplicar as condições iniciais.

Passo 2

Encontrar a solução geral homogênea. A equação associada é 4 r^2 − 16 r=0, que factorizando dá 4 r(r−4)=0, logo r=0 e r=4. Assim
yh(t)=C1+C2e^4t

Passo 3

Propor uma solução particular y_p para o termo não-homogêneo 2−3 e^{−4t}. Como 2 é constante e r=0 já é raiz da homogênea, tentamos y_{p1}=A t para o 2, e como −4 não é raiz, tentamos y_{p2}=C e^{−4t}. Então
yp(t)=A t+C e^−4t

Passo 4

Calcular derivadas de y_p:
yp'=A−4C e^−4t,
yp''=16C e^−4t

Passo 5

Substituir na equação 4y’‘−16y’=2−3e^{−4t}:
4(16C e^−4t)−16(A−4C e^−4t)=128C e^−4t−16A=2−3e^−4t

Passo 6

Comparar coeficientes: para e^{−4t} temos 128C=−3 ⇒ C=−3/128. Para termo constante −16A=2 ⇒ A=−1/8.
Assim a geral é
y(t)=C1+C2e^4t-18t-3128e^−4t

Passo 7

Aplicar y(0)=1/4:
y(0)=C1+C2−3128=14 ⇒ C1+C2=14+3128=35128

Passo 8

Calcular y’(t):
y'(t)=4C2e^4t-18+332e^−4t,

Passo 9

e aplicar y’(0)=127/32:
y'(0)=4C2-18+332=4C2-132=12732 ⇒4C2=12832=4 ⇒C2=1

Passo 10

Logo C_1=35/128−1=−93/128. Portanto
y(t)=-93128+e^4t-18t-3128e^−4t

Passo 11

Avaliar em t=1:
y(1)=e^4-3128e^−4-93128-18=e^4-3128e^−4-109128

Resposta

y(1)=e4-\tfrac{3}{128}e{−4}-\tfrac{109}{128}

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