Encontre o limite ou explique por que ele não existe.
\lim _{t \rightarrow \infty}\left(\sqrt{25 t^{2}+2}-5 t\right)

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{t \to \infty}\left(\sqrt{25t^{2}+2}-5t\right).
Informações dadas:
  • A expressão envolve uma diferença entre uma raiz quadrada que cresce com t e a função linear 5t.
  • O limite é quando t tende para +\infty.
O que se pede: calcular o valor desse limite ou justificar por que não existe.

Passo 2

Por que não podemos simplesmente “substituir” t=\infty? Se tentarmos avaliar cada termo separadamente, temos \sqrt{25t^{2}+2}\to\infty e 5t\to\infty, então aparece uma forma do tipo \infty-\infty, que é indeterminada. Precisamos manipular a expressão para transformar essa indeterminação numa forma que permita calcular o limite. Uma técnica simples e eficaz para diferenças envolvendo raízes é multiplicar por a conjugada (racionalizar).

Passo 3

Aplicar a multiplicação pelo conjugado:
\sqrt{25t^{2}+2}-5t = \frac{\big(\sqrt{25t^{2}+2}-5t\big)\big(\sqrt{25t^{2}+2}+5t\big)}{\sqrt{25t^{2}+2}+5t} = \frac{25t^{2}+2-25t^{2}}{\sqrt{25t^{2}+2}+5t}.
Simplificando o numerador:
\sqrt{25t^{2}+2}-5t = \frac{2}{\sqrt{25t^{2}+2}+5t}.

Passo 4

Agora reescrevemos a raiz de forma a separar o fator t. Para todo t,
\sqrt{25t^{2}+2} = |t|\sqrt{25+\frac{2}{t^{2}}}.
Como estamos tomando t\to\infty, para t suficientemente grande temos t>0, portanto |t|=t. Assim, para t grande:
\sqrt{25t^{2}+2}+5t = t\left(\sqrt{25+\frac{2}{t^{2}}}+5\right).
Substituindo na expressão obtida:
\sqrt{25t^{2}+2}-5t = \frac{2}{t\left(\sqrt{25+\frac{2}{t^{2}}}+5\right)}.

Passo 5

Vamos calcular o limite da expressão reescrita. Observe que
\lim_{t\to\infty}\sqrt{25+\frac{2}{t^{2}}}=5,
pois \dfrac{2}{t^{2}}\to 0. Portanto o fator entre parênteses tende a 5+5=10. Assim heurísticamente a expressão se comporta como \dfrac{2}{10t}=\dfrac{1}{5t}, que tende a 0 quando t\to\infty.
Para dar uma justificativa rígida por desigualdade (teorema do confronto): para t>0,
\sqrt{25t^{2}+2}>5t \quad\Rightarrow\quad \sqrt{25t^{2}+2}+5t>10t,
logo
0<\frac{2}{\sqrt{25t^{2}+2}+5t}<\frac{2}{10t}=\frac{1}{5t}.
Como \lim_{t\to\infty}\dfrac{1}{5t}=0, pelo princípio do confronto segue que
\lim_{t\to\infty}\frac{2}{\sqrt{25t^{2}+2}+5t}=0.

Passo 6

Conclusão: o limite existe e vale 0.

Resposta

0

Exercícios relacionados