Encontre o limite ou explique por que ele não existe.
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
Informações dadas:
- A expressão envolve uma diferença entre uma raiz quadrada que cresce com
e a função linear . - O limite é quando
tende para .
O que se pede: calcular o valor desse limite ou justificar por que não existe.
Passo 2
Por que não podemos simplesmente “substituir”
? Se tentarmos avaliar cada termo separadamente, temos
e
, então aparece uma forma do tipo
, que é indeterminada. Precisamos manipular a expressão para transformar essa indeterminação numa forma que permita calcular o limite. Uma técnica simples e eficaz para diferenças envolvendo raízes é multiplicar por a conjugada (racionalizar).
Passo 3
Aplicar a multiplicação pelo conjugado:
Simplificando o numerador:
Passo 4
Agora reescrevemos a raiz de forma a separar o fator
. Para todo
,
Como estamos tomando
, para
suficientemente grande temos
, portanto
. Assim, para
grande:
Substituindo na expressão obtida:
Passo 5
Vamos calcular o limite da expressão reescrita. Observe que
pois
. Portanto o fator entre parênteses tende a
. Assim heurísticamente a expressão se comporta como
, que tende a
quando
.
Para dar uma justificativa rígida por desigualdade (teorema do confronto): para
,
logo
Como
, pelo princípio do confronto segue que
Passo 6
Conclusão: o limite existe e vale
.