Se z^{2}=x^{2}+y^{2}, \frac{d x}{d t}=-5, \frac{d y}{d t}=8, calcule \frac{d z}{d t}, quando x= 15 e y=8

Passo 1

O enunciado dá a relação entre três quantidades que dependem do tempo t:
z^{2}=x^{2}+y^{2}.
Também fornece as taxas temporais de x e y:
\frac{d x}{d t}=-5,\qquad \frac{d y}{d t}=8,
e pede para calcular \dfrac{d z}{d t} no instante em que
x=15\qquad\text{e}\qquad y=8.
Resumo do que temos (todos os números escritos em TeX):
  • Equação: \;z^{2}=x^{2}+y^{2}.
  • Dados: \dfrac{dx}{dt}=-5, \dfrac{dy}{dt}=8.
  • Ponto onde avaliar: x=15, y=8.
    Objetivo: encontrar \dfrac{dz}{dt} quando x=15 e y=8.

Passo 2

Ideia da resolução (explicação do método usado, passo a passo): diferenciar ambos os lados da igualdade \;z^{2}=x^{2}+y^{2} em relação ao tempo t. Como x, y e z são funções de t, ao derivar uma expressão do tipo u(t)^{2} usa-se a regra da cadeia, que diz:
\frac{d}{dt}\bigl(u(t)^{2}\bigr)=2\,u(t)\,\frac{du}{dt}.
Aplicando isso a z^{2} (com u=z) obtemos 2z\frac{dz}{dt}. O mesmo vale para x^{2} e y^{2}.

Passo 3

Derivando ambos os lados da equação em relação a t e aplicando a regra da cadeia:
\frac{d}{dt}\bigl(z^{2}\bigr)=\frac{d}{dt}\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)
\Rightarrow\qquad 2z\frac{dz}{dt}=2x\frac{dx}{dt}+2y\frac{dy}{dt}.

Passo 4

Simplificando dividindo ambos os lados por 2:
z\frac{dz}{dt}=x\frac{dx}{dt}+y\frac{dy}{dt}.
Isolando \dfrac{dz}{dt}:
\frac{dz}{dt}=\frac{x\frac{dx}{dt}+y\frac{dy}{dt}}{z}.
Aqui cada símbolo significa:
  • x,y,z são as grandezas que dependem de t.
  • \dfrac{dx}{dt},\dfrac{dy}{dt},\dfrac{dz}{dt} são as derivadas temporais (taxas de variação) dessas grandezas.

Passo 5

Antes de substituir, calcular z no ponto dado usando a relação inicial (pegando x=15 e y=8):
z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\sqrt{15^{2}+8^{2}}=\sqrt{225+64}=\sqrt{289}=17.

Passo 6

Substituir os valores na fórmula para \dfrac{dz}{dt}:
\frac{dz}{dt}=\frac{\,x\frac{dx}{dt}+y\frac{dy}{dt}\,}{z} =\frac{\,15\cdot(-5)+8\cdot 8\,}{17}.
Calcular o numerador:
15\cdot(-5)=-75,\qquad 8\cdot 8=64,\qquad -75+64=-11.
Logo
\frac{dz}{dt}=\frac{-11}{17}.

Passo 7

Interpretação rápida: \dfrac{dz}{dt}=-\dfrac{11}{17} é negativo, então naquele instante z está diminuindo. Decimalmente, isso é aproximadamente -0{,}647, se quiser intuição numérica.

Resposta

-\dfrac{11}{17}

Exercícios relacionados