Calcule a integral:
\int \operatorname{arcsen}\left(\sqrt{\frac{x}{x+1}}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int \operatorname{arcsen}\!\left(\sqrt{\frac{x}{x+1}}\right)\,dx.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A função a ser integrada é \operatorname{arcsen}\!\left(\sqrt{\dfrac{x}{x+1}}\right).
  • Para que a expressão esteja bem definida em reais, é necessário que \dfrac{x}{x+1} esteja em [0,1] e x+1\neq0. Isso implica que a região natural onde a integranda é real é \,x\ge0.
  • O objetivo é encontrar uma primitiva (antiderivada) da função, ou seja, uma função F(x) tal que F'(x)=\operatorname{arcsen}\!\left(\sqrt{\dfrac{x}{x+1}}\right).

Passo 2

Escolher uma substituição que simplifique a expressão dentro do \operatorname{arcsen}. Note que a composição \sqrt{\dfrac{x}{x+1}} sugere usar uma parametrização trigonométrica porque aparece uma razão do tipo \dfrac{\text{algo}}{1+\text{algo}}. A substituição conveniente é
x = \tan^{2} t,
porque então
\frac{x}{x+1}=\frac{\tan^{2} t}{1+\tan^{2} t}=\sin^{2} t,
e portanto
\sqrt{\frac{x}{x+1}}=\sin t.
Para x\ge0 temos \tan t\ge0 e podemos tomar t\in\left[0,\tfrac{\pi}{2}\right), de modo que \operatorname{arcsen}(\sin t)=t. Assim, com essa substituição a parte \operatorname{arcsen}\!\left(\sqrt{\dfrac{x}{x+1}}\right) fica simplesmente t.

Passo 3

Calcular dx em função de t. Como x=\tan^{2} t,
dx = \frac{d}{dt}(\tan^{2} t)\,dt = 2\tan t\cdot\operatorname{sec}^{2} t\,dt.
Agora substituímos na integral original: \operatorname{arcsen}\!\left(\sqrt{\dfrac{x}{x+1}}\right)=t e dx=2\tan t\operatorname{sec}^{2} t\,dt. Logo a integral torna-se
\int \operatorname{arcsen}\!\left(\sqrt{\frac{x}{x+1}}\right)\,dx =\int t\cdot\bigl(2\tan t\operatorname{sec}^{2} t\bigr)\,dt =\int 2t\tan t\operatorname{sec}^{2} t\,dt.

Passo 4

Observar que 2\tan t\operatorname{sec}^{2} t é exatamente a derivada de \operatorname{sec}^{2} t, porque
\frac{d}{dt}\bigl(\operatorname{sec}^{2} t\bigr)=2\operatorname{sec}^{2} t\cdot\operatorname{sec} t\tan t\quad\text{(incorreto: vamos corrigir)}.
Corrigindo o cálculo corretamente: escrevendo \operatorname{sec}^{2} t=(\operatorname{sec} t)^2 e derivando,
\frac{d}{dt}\bigl(\operatorname{sec}^{2} t\bigr)=2\operatorname{sec} t\cdot\operatorname{sec} t\tan t=2\operatorname{sec}^{2} t\tan t.
Portanto
\frac{d}{dt}\bigl(\operatorname{sec}^{2} t\bigr)=2\tan t\operatorname{sec}^{2} t,
ou seja, 2\tan t\operatorname{sec}^{2} t\,dt=d(\operatorname{sec}^{2} t). Isso é muito conveniente: a integral virou uma integral do tipo \int t\,d(\operatorname{sec}^{2} t), que é prontamente tratada por integração por partes (ou pela fórmula de integração de uma função vezes diferencial).

Passo 5

Aplicar integração por partes usando a forma \int u\,dv = uv - \int v\,du. Tomamos
u = t,\qquad dv = 2\tan t\operatorname{sec}^{2} t\,dt.
Então
du = dt,\qquad v = \operatorname{sec}^{2} t,
pois dv=d(\operatorname{sec}^{2} t). Aplicando a fórmula,
\int 2t\tan t\operatorname{sec}^{2} t\,dt = t\operatorname{sec}^{2} t - \int \operatorname{sec}^{2} t\,dt.

Passo 6

Calcular a integral remanescente \int \operatorname{sec}^{2} t\,dt. Sabe-se que
\frac{d}{dt}(\tan t)=\operatorname{sec}^{2} t,
logo
\int \operatorname{sec}^{2} t\,dt = \tan t + C.
Substituindo no resultado do passo anterior,
\int 2t\tan t\operatorname{sec}^{2} t\,dt = t\operatorname{sec}^{2} t - \tan t + C.

Passo 7

Voltar para a variável x. Lembrando que fizemos x=\tan^{2} t, temos as relações
\tan t = \sqrt{x},\qquad \operatorname{sec}^{2} t = 1+\tan^{2} t = 1+x,
e também, como estabelecido no Passo 2,
t=\operatorname{arcsen}\!\left(\sqrt{\frac{x}{x+1}}\right).
Substituindo tudo na expressão obtida:
t\operatorname{sec}^{2} t - \tan t + C = \biggl(\operatorname{arcsen}\!\left(\sqrt{\frac{x}{x+1}}\right)\biggr)\,(1+x) - \sqrt{x} + C.

Passo 8

Comentário final curto e encorajador: chegamos a uma primitiva expressa em termos exatamente da função do enunciado, sem deixar etapas escondidas. Na prova, a chave é perceber a substituição trigonométrica x=\tan^{2}t que transforma a raiz e o arcsen em um ângulo simples, e depois usar integração por partes com a observação de que 2\tan t\operatorname{sec}^{2} t é derivada de \operatorname{sec}^{2} t. Vai dar tudo certo — respira e pratica mais umas duas dessas!

Resposta

(1+x)\operatorname{arcsen}\!\left(\sqrt{\dfrac{x}{x+1}}\right)-\sqrt{x}+C

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