Calcule a integral:
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A função a ser integrada é
. - Para que a expressão esteja bem definida em reais, é necessário que
esteja em e . Isso implica que a região natural onde a integranda é real é . - O objetivo é encontrar uma primitiva (antiderivada) da função, ou seja, uma função
tal que .
Passo 2
Escolher uma substituição que simplifique a expressão dentro do
. Note que a composição
sugere usar uma parametrização trigonométrica porque aparece uma razão do tipo
. A substituição conveniente é
porque então
e portanto
Para
temos
e podemos tomar
, de modo que
. Assim, com essa substituição a parte
fica simplesmente
.
Passo 3
Calcular
em função de
. Como
,
Agora substituímos na integral original:
e
. Logo a integral torna-se
Passo 4
Observar que
é exatamente a derivada de
, porque
Corrigindo o cálculo corretamente: escrevendo
e derivando,
Portanto
ou seja,
. Isso é muito conveniente: a integral virou uma integral do tipo
, que é prontamente tratada por integração por partes (ou pela fórmula de integração de uma função vezes diferencial).
Passo 5
Aplicar integração por partes usando a forma
. Tomamos
Então
pois
. Aplicando a fórmula,
Passo 6
Calcular a integral remanescente
. Sabe-se que
logo
Substituindo no resultado do passo anterior,
Passo 7
Voltar para a variável
. Lembrando que fizemos
, temos as relações
e também, como estabelecido no Passo 2,
Substituindo tudo na expressão obtida:
Passo 8
Comentário final curto e encorajador: chegamos a uma primitiva expressa em termos exatamente da função do enunciado, sem deixar etapas escondidas. Na prova, a chave é perceber a substituição trigonométrica
que transforma a raiz e o arcsen em um ângulo simples, e depois usar integração por partes com a observação de que
é derivada de
. Vai dar tudo certo — respira e pratica mais umas duas dessas!