Encontre a solução geral da equação diferencial de primeira ordem (separável)
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial de primeira ordem (separável)
Informações e o que é pedido:
- A equação diferencial dada é
. - Deve-se encontrar a solução geral
(ou uma forma implícita) que satisfaça essa equação. - Observações imediatas extraídas do enunciado:
- Aparece
, portanto para soluções reais é necessário ter , i.e., . - Aparece divisão por
, portanto ao longo da solução (o caso não é admissível porque tornaria a equação indefinida).
- Aparece
Passo 2
Vamos separar variáveis. Reescrevendo a equação:
Multiplicando ambos os lados por
obtemos:
Explicação didática do método: separar variáveis significa arrumar a equação de modo que todos os termos com
(e
) fiquem de um lado e todos os termos com
(e
) fiquem do outro. Assim podemos integrar cada lado independentemente. Aqui já temos
(apenas função de
) e
(apenas função de
), prontos para integrar.
Passo 3
Integramos ambos os lados:
A integral à esquerda é padrão. Aula curta:
, porque a derivada de
é
. Então
Passo 4
Calculamos a integral à direita
. Vamos fazer a substituição conveniente. Seja
. Então
e
.
Transformando a integral:
Transformando a integral:
Colocando o sinal dentro:
Agora integramos termo a termo:
Simplificando:
Voltando à variável
(
):
Passo 5
Juntando as integrais (esq. = dir.) e combinando constantes de integração:
onde
é uma constante real arbitrária (resultado da combinação de
e
). Podemos simplificar o lado direito fatorando
:
Assim uma forma mais compacta é
Passo 6
Tornando explícita a solução
: exponenciando ambos os lados obtemos
Definindo
(constante arbitrária não nula, que pode ser qualquer número real diferente de zero), obtemos a solução geral
com
. Lembrete sobre domínio: para soluções reais exige-se
e
. A constante
pode ser absorvida como positiva ou negativa (o valor zero não é permitido porque a equação original tem
).