Encontre a solução geral da equação diferencial de primeira ordem (separável)
x d x-\frac{\sqrt{4-x}}{y} d y=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial de primeira ordem (separável)
x\,dx-\frac{\sqrt{4-x}}{y}\,dy=0.
Informações e o que é pedido:
  • A equação diferencial dada é \;x\,dx-\dfrac{\sqrt{4-x}}{y}\,dy=0.
  • Deve-se encontrar a solução geral y(x) (ou uma forma implícita) que satisfaça essa equação.
  • Observações imediatas extraídas do enunciado:
    • Aparece \sqrt{4-x}, portanto para soluções reais é necessário ter 4-x\ge 0, i.e., x\le 4.
    • Aparece divisão por y, portanto y\neq 0 ao longo da solução (o caso y\equiv 0 não é admissível porque tornaria a equação indefinida).

Passo 2

Vamos separar variáveis. Reescrevendo a equação:
x\,dx=\frac{\sqrt{4-x}}{y}\,dy.
Multiplicando ambos os lados por \dfrac{y}{\sqrt{4-x}} obtemos:
\frac{dy}{y}=\frac{x}{\sqrt{4-x}}\,dx.
Explicação didática do método: separar variáveis significa arrumar a equação de modo que todos os termos com y (e dy) fiquem de um lado e todos os termos com x (e dx) fiquem do outro. Assim podemos integrar cada lado independentemente. Aqui já temos \dfrac{dy}{y} (apenas função de y) e \dfrac{x}{\sqrt{4-x}}\,dx (apenas função de x), prontos para integrar.

Passo 3

Integramos ambos os lados:
\int \frac{1}{y}\,dy=\int \frac{x}{\sqrt{4-x}}\,dx.
A integral à esquerda é padrão. Aula curta: \displaystyle\int \frac{1}{y}\,dy=\ln|y|+C, porque a derivada de \ln|y| é 1/y. Então
\int \frac{1}{y}\,dy=\ln|y| + C_1.

Passo 4

Calculamos a integral à direita \displaystyle\int \frac{x}{\sqrt{4-x}}\,dx. Vamos fazer a substituição conveniente. Seja \;u=4-x. Então \;du=-dx e \;x=4-u.
Transformando a integral:
\int \frac{x}{\sqrt{4-x}}\,dx = \int \frac{4-u}{\sqrt{u}}\;(-du).
Colocando o sinal dentro:
= -\int \left(\frac{4}{\sqrt{u}} - \frac{u}{\sqrt{u}}\right) du = -\int \left(4u^{-1/2}-u^{1/2}\right) du.
Agora integramos termo a termo:
-\left(4\int u^{-1/2}du - \int u^{1/2}du\right) = -\left(4\cdot 2u^{1/2} - \frac{2}{3}u^{3/2}\right) + C_2.
Simplificando:
= -8u^{1/2} + \frac{2}{3}u^{3/2} + C_2.
Voltando à variável x ( u=4-x):
\int \frac{x}{\sqrt{4-x}}\,dx = -8\sqrt{4-x} + \frac{2}{3}(4-x)^{3/2} + C_2.

Passo 5

Juntando as integrais (esq. = dir.) e combinando constantes de integração:
\ln|y| = -8\sqrt{4-x} + \frac{2}{3}(4-x)^{3/2} + C,
onde C é uma constante real arbitrária (resultado da combinação de C_1 e C_2). Podemos simplificar o lado direito fatorando (4-x)^{1/2}:
-8\sqrt{4-x} + \frac{2}{3}(4-x)^{3/2} = (4-x)^{1/2}\!\left(\frac{2}{3}(4-x)-8\right) = -\frac{2}{3}(x+8)\sqrt{4-x}.
Assim uma forma mais compacta é
\ln|y| = -\frac{2}{3}(x+8)\sqrt{4-x} + C.

Passo 6

Tornando explícita a solução y(x): exponenciando ambos os lados obtemos
|y| = e^{C}\exp\!\left(-\frac{2}{3}(x+8)\sqrt{4-x}\right).
Definindo C_1:=\pm e^{C} (constante arbitrária não nula, que pode ser qualquer número real diferente de zero), obtemos a solução geral
y(x)=C_1\exp\!\left(-\frac{2}{3}(x+8)\sqrt{4-x}\right),
com C_1\in\mathbb{R}\setminus\{0\}. Lembrete sobre domínio: para soluções reais exige-se x\le 4 e y\neq 0. A constante C_1 pode ser absorvida como positiva ou negativa (o valor zero não é permitido porque a equação original tem \dfrac{1}{y}).

Resposta

y(x)=C\,\exp\!\left(-\frac{2}{3}(x+8)\sqrt{4-x}\right),\qquad C\in\mathbb{R}\setminus\{0\},\quad x\le 4

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