(0,6) Encontre o limite fundamental: lim x 0 e^x-1-a^x-1x^2-1

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos que encontrar o limite:
lim x 0 e^x-1 - a^x-1x^2 - 1
Aqui, estamos lidando com limites, um conceito fundamental em cálculo que nos ajuda a entender o comportamento de funções perto de um ponto específico. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como calcular limites de funções exponenciais e realizar operações básicas com frações.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o comportamento do numerador e do denominador quando e^0-1 = e^-1 e a^0-1 = a^-1 se aproxima de 0.
  • Numerador: e^-1 - a^-1
    Quando 0^2 - 1 = -1 se aproxima de 0:
    Então, o numerador se torna:
  • Denominador:
    Quando se aproxima de 0:

Passo 3

Agora, temos:
lim x 0 e^-1 - a^-1-1
Isso simplifica para:
e^-1 - a^-1-1 = - (e^-1 - a^-1) = a^-1 - e^-1

Resposta

O limite é .

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