Encontre as retas tangentes às curvas abaixo no ponto dado. e
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para encontrar as retas tangentes à curva definida pela equação no ponto . Para isso, vamos utilizar conceitos de cálculo diferencial, especificamente a diferenciação implícita, que nos ajuda a encontrar a inclinação da reta tangente quando a relação entre e não está resolvida de forma explícita.
Passo 2
Primeiro, precisamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a . Isso porque queremos encontrar a derivada , que representa a inclinação da reta tangente no ponto dado. A equação original é:
Passo 3
Vamos aplicar a diferenciação termo a termo:
Diferenciar :
A derivada de em relação a é .
Aqui, , então .
Diferenciar :
Usamos a regra do produto: .
, ; , .
Então, .
Diferenciar :
A derivada de em relação a é .
Diferenciar :
Usamos a regra da cadeia: .
Diferenciar :
A derivada de uma constante é .
Passo 4
Aplicando todas as derivações, temos:
Agora, vamos reorganizar os termos para isolar :
Agrupando os termos com :
Passo 5
Agora, isolamos :
Passo 6
Vamos substituir o ponto na expressão da derivada para encontrar a inclinação da reta tangente nesse ponto:
Substituindo e :
Simplificando:
dydxg|(-1,1) = 1 - cos(0) + 82 cdot cos(0) + 4
Sabemos que cos(0) = 1, então:
dydxg|(-1,1) = 1 - 1 + 82 cdot 1 + 4 = 86 = 43
Resposta
A inclinação da reta tangente à curva no ponto P=(-1,1) é 43. Portanto, a equação da reta tangente é: