Encontre as retas tangentes às curvas abaixo no ponto dado.
sen(x+y^2)+4 x^2 y=x+y^2+4 e P=(-1,1)

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar as retas tangentes à curva definida pela equação sen(x+y^2)+4 x^2 y=x+y^2+4 no ponto P=(-1,1). Para isso, vamos utilizar conceitos de cálculo diferencial, especificamente a diferenciação implícita, que nos ajuda a encontrar a inclinação da reta tangente quando a relação entre x e y não está resolvida de forma explícita.

Passo 2

Primeiro, precisamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a x. Isso porque queremos encontrar a derivada dydx, que representa a inclinação da reta tangente no ponto dado. A equação original é:
sen(x+y^2) + 4x^2y = x + y^2 + 4

Passo 3

Vamos aplicar a diferenciação termo a termo:
  1. Diferenciar sen(x + y^2):
    • A derivada de sen(u) em relação a x é cos(u) cdot dudx.
    • Aqui, u = x + y^2, então dudx = 1 + 2y cdot dydx.
  2. Diferenciar 4x^2y:
    • Usamos a regra do produto: ddx(uv) = u'v + uv'.
    • u = 4x^2, u' = 8x; v = y, v' = dydx.
    • Então, ddx(4x^2y) = 8x y + 4x^2 dydx.
  3. Diferenciar x:
    • A derivada de x em relação a x é 1.
  4. Diferenciar y^2:
    • Usamos a regra da cadeia: ddx(y^2) = 2y cdot dydx.
  5. Diferenciar 4:
    • A derivada de uma constante é 0.

Passo 4

Aplicando todas as derivações, temos:
cos(x + y^2) cdot (1 + 2y cdot dydx) + 8x y + 4x^2 cdot dydx = 1 + 2y cdot dydx + 0
Agora, vamos reorganizar os termos para isolar dydx:
cos(x + y^2) cdot 1 + cos(x + y^2) cdot 2y cdot dydx + 8x y + 4x^2 cdot dydx = 1 + 2y cdot dydx
Agrupando os termos com dydx:
(cos(x + y^2) cdot 2y + 4x^2) cdot dydx = 1 - cos(x + y^2) - 8x y

Passo 5

Agora, isolamos dydx:
dydx = 1 - cos(x + y^2) - 8x y2y cdot cos(x + y^2) + 4x^2

Passo 6

Vamos substituir o ponto P=(-1,1) na expressão da derivada para encontrar a inclinação da reta tangente nesse ponto:
Substituindo x = -1 e y = 1:
dydxg|(-1,1) = 1 - cos(-1 + 1^2) - 8(-1)(1)2(1) cdot cos(-1 + 1^2) + 4(-1)^2
Simplificando:
dydxg|(-1,1) = 1 - cos(0) + 82 cdot cos(0) + 4
Sabemos que cos(0) = 1, então:
dydxg|(-1,1) = 1 - 1 + 82 cdot 1 + 4 = 86 = 43

Resposta

A inclinação da reta tangente à curva no ponto P=(-1,1) é 43. Portanto, a equação da reta tangente é:
y - 1 = 43(x + 1)
Ou, de forma simplificada:
y = 43x + 73

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