Encontre o limite.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para encontrar o limite de $ \ln(x) \cdot \tan\left(\frac{\pi x}{2}\right) $ quando $ x $ se aproxima de 1 pela direita. Aqui, vamos usar conceitos de limites e propriedades das funções logaritmo e tangente para chegar à resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que acontece com cada parte da expressão conforme $ x $ se aproxima de 1 pela direita.
  • Logaritmo Natural ($ \ln(x) $): Sabemos que $ \ln(1) = 0 $. Então, conforme $ x $ se aproxima de 1, $ \ln(x) $ se aproxima de 0.
  • Tangente ($ \tan\left(\frac{\pi x}{2}\right) $): Quando $ x = 1 $, o ângulo fica $ \frac{\pi}{2} $, onde a tangente tende ao infinito. Mas como estamos aproximando 1 pela direita (valores maiores que 1), o ângulo fica um pouquinho maior que $ \frac{\pi}{2} $, e a tangente nesse caso tende a menos infinito.
Então, temos uma forma indeterminada do tipo $ 0 \times (-\infty) $. Para resolver isso, vamos reescrever a expressão de uma forma que facilite a aplicação de regras de limites.

Passo 3

Vamos fazer uma substituição para simplificar. Seja $ h = x - 1 $, onde $ h $ tende a 0 pelo lado positivo ($ h \to 0^+ $). Assim, podemos reescrever:
h = x - 1
Substituindo na expressão original:
h
Simplificando o argumento da tangente:
h to 0^+
Então, a expressão fica:
x = 1 + h

Passo 4

Sabemos que:
tan(pi2 + theta) = -cot(theta)
Aplicando isso na nossa expressão:
tan(pi2 + pi h2) = -cot(pi h2)
Então, a expressão se torna:
ln(1 + h) cdot (-cot(pi h2))
Ou seja:
- ln(1 + h) cdot cot(pi h2)

Passo 5

Vamos lembrar que para pequenos valores de $ \theta $, $ \cot(\theta) $ pode ser aproximado por $ \frac{1}{\theta} $. Portanto:
theta
E sabemos que para $ h $ pequeno:
cot(theta)
Substituindo essas aproximações na expressão:
1theta

Resposta

O limite é -dfrac2pi.

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