Encontre o limite.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para encontrar o limite de $ \ln(x) \cdot \tan\left(\frac{\pi x}{2}\right) $ quando $ x $ se aproxima de 1 pela direita. Aqui, vamos usar conceitos de limites e propriedades das funções logaritmo e tangente para chegar à resposta.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o que acontece com cada parte da expressão conforme $ x $ se aproxima de 1 pela direita.
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Logaritmo Natural ($ \ln(x) $): Sabemos que $ \ln(1) = 0 $. Então, conforme $ x $ se aproxima de 1, $ \ln(x) $ se aproxima de 0.
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Tangente ($ \tan\left(\frac{\pi x}{2}\right) $): Quando $ x = 1 $, o ângulo fica $ \frac{\pi}{2} $, onde a tangente tende ao infinito. Mas como estamos aproximando 1 pela direita (valores maiores que 1), o ângulo fica um pouquinho maior que $ \frac{\pi}{2} $, e a tangente nesse caso tende a menos infinito.
Então, temos uma forma indeterminada do tipo $ 0 \times (-\infty) $. Para resolver isso, vamos reescrever a expressão de uma forma que facilite a aplicação de regras de limites.
Passo 3
Vamos fazer uma substituição para simplificar. Seja $ h = x - 1 $, onde $ h $ tende a 0 pelo lado positivo ($ h \to 0^+ $). Assim, podemos reescrever:
Substituindo na expressão original:
Simplificando o argumento da tangente:
Então, a expressão fica:
Passo 4
Sabemos que:
Aplicando isso na nossa expressão:
Então, a expressão se torna:
Ou seja:
Passo 5
Vamos lembrar que para pequenos valores de $ \theta $, $ \cot(\theta) $ pode ser aproximado por $ \frac{1}{\theta} $. Portanto:
E sabemos que para $ h $ pequeno:
Substituindo essas aproximações na expressão:
Resposta
O limite é
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