Encontre o limite
lim x infty cos (x)=nexists

Passo 1

O enunciado pede para determinar limxtoinftycos(x). O conteúdo envolve limites de funções trigonométricas no infinito e a ideia de oscilações.

Passo 2

Para que exista L=limxtoinftycos(x), a função cos(x) teria de se aproximar de um único valor L conforme x cresce sem limite. Porém, cos(x) oscila entre -1 e +1 indefinidamente.
Uma maneira clássica de provar que não há limite é usar duas sequências xn e yn que tendem a +infty, mas cujas imagens em cos convergem a valores distintos. Por exemplo, definimos
  • xn = 2pi n, então xntoinfty e cos(xn)=1 para todo n.
  • yn = pi + 2pi n, então yntoinfty e cos(yn)=-1 para todo n.

Passo 3

Como duas sequências que vão ao infinito levam a dois limites diferentes ( +1 e -1), a função cos(x) não se aproxima de um único valor quando xtoinfty.

Resposta

O limite não existe.

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