Encontre o limite.
lim x infty raizx^2+3 x+1-x=1

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
limxtoinftyl(raizx^2+3x+1-xr)
Trata-se de um problema de limites envolvendo raiz quadrada e termo infinito, e vamos usar a técnica de racionalização para simplificar a expressão.

Passo 2

Para eliminar a diferença de raiz e termo linear, multiplicamos e dividimos pela conjugada. Assim temos:
raizx^2+3x+1-x =(raizx^2+3x+1-x)(raizx^2+3x+1+x)raizx^2+3x+1+x =x^2+3x+1 - x^2raizx^2+3x+1+x =3x+1raizx^2+3x+1+x

Passo 3

Em seguida, para analisar o comportamento quando xtoinfty, fatoramos x no numerador e no denominador:
3x+1raizx^2+3x+1+x =xl(3 + 1/xr)xl(raiz1 + 3/x + 1/x^2,+1r) =3 + 1/xraiz1 + 3/x + 1/x^2,+1

Passo 4

Por fim, aplicamos o limite usando que 1/xto0 e 1/x^2to0 quando xtoinfty. Logo:
limxtoinfty3 + 1/xraiz1 + 3/x + 1/x^2,+1 =3 + 0raiz1 + 0 + 0,+1 =31 + 1 =32

Resposta

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