Encontre o valor médio de f na região D
f(x, y)=x sen y, D é limitada pelas curvas y=0, y=x^2 e x=1

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o valor médio da função f(x,y)=xsin y na região D limitada por y=0, y=x^2 e x=1. Vamos usar conceito de valor médio em integrais duplas e calcular tanto a área de D quanto a integral de f sobre D.

Passo 2

O valor médio de f em D é dado por:
bar f = 1Área(D)integral duplaD f(x,y),dAÁ
Então precisamos achar a área de D e o valor de integral duplaD xsin y,dA.

Passo 3

A área de D vem de:
Área(D)=integralx=0^1integraly=0^x^2dy,dxÁ
Calculando:
integral0^1l[yr]0^x^2dx=integral0^1x^2,dx=x^33|0^1=13

Passo 4

Agora a integral dupla de f:
integral duplaD xsin y,dA=integralx=0^1integraly=0^x^2xsin y,dy,dx
Para a integral interna em y:
integral0^x^2sin y,dy = [-cos y]0^x^2 = 1-cos(x^2)
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integral duplaD xsin y,dA=integral0^1xl(1-cos(x^2)r)dx

Passo 5

Para resolver essa integral usamos t=x^2, então dt=2x,dx, isto é, x,dx=dt/2 e quando x vai de 0 a 1, t vai de 0 a 1:
integral0^1xl(1-cos(x^2)r)dx=12integral0^1(1-cos t),dt=12[t-sin t]0^1=1-sin12

Passo 6

Finalmente, o valor médio é
bar f=11/3times1-sin12=32(1-sin1)

Resposta

32l(1-sin1r)

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