Prove as seguintes afirmações:
Passo 1
Começamos definindo z = x + i y, onde x = Re(z) e y = Im(z). Sabemos que o módulo de z é dado por
e queremos mostrar que
.
Passo 2
Observe que ambos lados da desigualdade são não negativos, então podemos elevar ao quadrado sem inverter o sinal. Precisamos portanto provar
Expandindo o lado direito, temos
pois
.
Passo 3
Como a função raiz quadrada é crescente em
, precisamos apenas tirar a raiz de ambos os lados da desigualdade obtida e concluímos que
isto é,