Prove as seguintes afirmações:
|z| <=|Re(z)|+|Im(z)|

Passo 1

Começamos definindo z = x + i y, onde x = Re(z) e y = Im(z). Sabemos que o módulo de z é dado por lvert zrvert = raizx^2 + y^2 e queremos mostrar que raizx^2 + y^2 <= |x| + |y|.

Passo 2

Observe que ambos lados da desigualdade são não negativos, então podemos elevar ao quadrado sem inverter o sinal. Precisamos portanto provar
x^2 + y^2 <= (|x| + |y|)^2
Expandindo o lado direito, temos
(|x| + |y|)^2 = |x|^2 + |y|^2 + 2|x||y| = x^2 + y^2 + 2|x||y| >= x^2 + y^2,
pois 2|x||y| >= 0.

Passo 3

Como a função raiz quadrada é crescente em [0,infty), precisamos apenas tirar a raiz de ambos os lados da desigualdade obtida e concluímos que
raizx^2 + y^2 <= |x| + |y|,
isto é,
|z| <= |Re(z)| + |Im(z)|

Resposta

|z| <= |Re(z)| + |Im(z)|

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