Encontre o limite.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite:
. A matéria envolvida aqui é cálculo, mais especificamente o estudo de limites no infinito. Para resolver, vamos precisar entender como as funções exponenciais e polinomiais se comportam quando
cresce muito. Vamos seguir passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos analisar as funções que temos no limite. No numerador, temos
, que é uma função exponencial. No denominador, temos
, que é uma função polinomial de segundo grau. Sabemos que, à medida que
tende ao infinito, as funções exponenciais crescem muito mais rápido que as polinomios. Mas vamos formalizar isso.
Passo 3
Para comparar o crescimento dessas funções, podemos usar a regra de L’Hôpital, que é útil quando encontramos formas indeterminadas como
. No nosso caso, quando
vai para o infinito, tanto
quanto
vão para o infinito, então podemos aplicar a regra.
Passo 4
Aplicando a regra de L’Hôpital, derivamos o numerador e o denominador:
- Derivada de
em relação a é . - Derivada de
em relação a é .
Então, temos:
Passo 5
Ainda estamos na forma
, então aplicamos a regra de L’Hôpital de novo. Derivamos novamente:
- Derivada de
é . - Derivada de
é .
Agora, o limite fica:
Passo 6
Agora, temos
. Conforme
tende ao infinito,
cresce sem limites, então o limite será infinito dividido por uma constante, ou seja, infinito.