Encontre o limite.
lim x infty e^x500 x^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: lim x infty e^x500 x^2. A matéria envolvida aqui é cálculo, mais especificamente o estudo de limites no infinito. Para resolver, vamos precisar entender como as funções exponenciais e polinomiais se comportam quando x cresce muito. Vamos seguir passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos analisar as funções que temos no limite. No numerador, temos e^x, que é uma função exponencial. No denominador, temos 500x^2, que é uma função polinomial de segundo grau. Sabemos que, à medida que x tende ao infinito, as funções exponenciais crescem muito mais rápido que as polinomios. Mas vamos formalizar isso.

Passo 3

Para comparar o crescimento dessas funções, podemos usar a regra de L’Hôpital, que é útil quando encontramos formas indeterminadas como inftyinfty. No nosso caso, quando x vai para o infinito, tanto e^x quanto 500x^2 vão para o infinito, então podemos aplicar a regra.

Passo 4

Aplicando a regra de L’Hôpital, derivamos o numerador e o denominador:
  • Derivada de e^x em relação a x é e^x.
  • Derivada de 500x^2 em relação a x é 1000x.
Então, temos:
lim x infty e^x500 x^2 = lim x infty e^x1000x

Passo 5

Ainda estamos na forma inftyinfty, então aplicamos a regra de L’Hôpital de novo. Derivamos novamente:
  • Derivada de e^x é e^x.
  • Derivada de 1000x é 1000.
Agora, o limite fica:
lim x infty e^x1000

Passo 6

Agora, temos e^x1000. Conforme x tende ao infinito, e^x cresce sem limites, então o limite será infinito dividido por uma constante, ou seja, infinito.

Resposta

lim x infty e^x500 x^2 = infty

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