Resolva as seguintes equações diferenciais ordinárias não homogêneas usando o Método dos Coeficientes a Determinar:
y^prime prime-2 y^prime-3 y=cos (2 t)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO linear de segunda ordem não homogênea y'' - 2y' - 3y = cos(2t) usando o método dos coeficientes indeterminados.

Passo 2

Começamos resolvendo a parte homogênea associada: montamos a equação característica
r^2 - 2r - 3 = 0
que tem raízes r=3 e r=-1. Assim, a solução geral da homogênea é
yh(t) = C1 e^3t + C2 e^-t

Passo 3

Para encontrar uma solução particular yp, fazemos o palpite usual para o termo cos(2t):
yp(t) = Acos(2t) + Bsin(2t)

Passo 4

Calculamos as derivadas de yp:
yp'(t) = -2Asin(2t) + 2Bcos(2t),
yp''(t) = -4Acos(2t) - 4Bsin(2t)

Passo 5

Substituindo em y'' - 2y' - 3y = cos(2t) obtemos
(-4Acos2t - 4Bsin2t) -2(-2Asin2t + 2Bcos2t) -3(Acos2t + Bsin2t) = cos2t
Agrupando termos em cos(2t) e sin(2t) gera o sistema
-7A - 4B = 1, 4A - 7B = 0
Resolvendo esse sistema vem
A = -765, B = -465

Passo 6

Logo, a solução particular é
yp(t) = -765cos(2t) - 465sin(2t),
e a solução geral da EDO é a soma de yh e yp.

Resposta

A solução geral é y(t) = C1 e^3t + C2 e^-t - tfrac765cos(2t) - tfrac465sin(2t).

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