Suponha que
tenha derivada
. Então
A função
é côncava para baixo no(s) intervalo(s):
A função
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos dá a derivada primeira da função $ f(x) $, que é $ f^{\prime}(x) = (x-4)^{2} e^{-x / 2} $. Queremos descobrir em quais intervalos a função $ f $ é côncava para baixo. Para resolver isso, vamos precisar entender de derivadas, especialmente a segunda derivada, e como ela está relacionada à concavidade da função.
Passo 2
Primeiro, para determinar a concavidade da função $ f(x) $, precisamos encontrar a segunda derivada, $ f’’(x) $. A concavidade para baixo ocorre quando $ f’’(x) < 0 $.
Passo 3
Vamos calcular $ f’’(x) $ a partir de $ f^{\prime}(x) = (x-4)^{2} e^{-x / 2} $. Para isso, usamos a regra do produto na derivação:
Aplicando a regra do produto:
Simplificando os termos:
Podemos fatorar $ e^{-x/2} $ e $ (x-4) $:
Simplificando dentro dos colchetes:
Então:
Passo 4
Agora, queremos saber onde $ f’’(x) < 0 $. Olhando para a expressão de $ f’’(x) $:
Sabemos que $ e^{-x/2} $ é sempre positivo para todo $ x $, e $ \frac{1}{2} $ também é positivo. Portanto, o sinal de $ f’’(x) $ depende dos fatores $ (x-4) $ e $ (8 - x) $.
Vamos analisar:
- $ (x-4)(8 - x) = -(x-4)(x-8) $
Os pontos críticos são $ x = 4 $ e $ x = 8 $. Vamos dividir a reta numérica em intervalos:
- $ x < 4 $
- $ 4 < x < 8 $
- $ x > 8 $
Vamos verificar o sinal de $ (x-4)(8 - x) $ em cada intervalo:
-
Para $ x < 4 $:
- $ x-4 < 0 $
- $ 8 - x > 0 $
- Produto: negativo
-
Para $ 4 < x < 8 $:
- $ x-4 > 0 $
- $ 8 - x > 0 $
- Produto: positivo
-
Para $ x > 8 $:
- $ x-4 > 0 $
- $ 8 - x < 0 $
- Produto: negativo
Passo 5
Como $ f’’(x) $ é proporcional a $ (x-4)(8 - x) $, vimos que:
- $ f’’(x) < 0 $ quando $ x < 4 $ ou $ x > 8 $
- $ f’’(x) > 0 $ quando $ 4 < x < 8 $
Resposta
A função $ f $ é côncava para baixo nos intervalos $ (-\infty, 4) $ e $ (8, +\infty) $.