Suponha que f(x) tenha derivada f^prime(x)=(x-4)^2 e^-x / 2. Então
A função f é côncava para baixo no(s) intervalo(s):

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos dá a derivada primeira da função $ f(x) $, que é $ f^{\prime}(x) = (x-4)^{2} e^{-x / 2} $. Queremos descobrir em quais intervalos a função $ f $ é côncava para baixo. Para resolver isso, vamos precisar entender de derivadas, especialmente a segunda derivada, e como ela está relacionada à concavidade da função.

Passo 2

Primeiro, para determinar a concavidade da função $ f(x) $, precisamos encontrar a segunda derivada, $ f’’(x) $. A concavidade para baixo ocorre quando $ f’’(x) < 0 $.

Passo 3

Vamos calcular $ f’’(x) $ a partir de $ f^{\prime}(x) = (x-4)^{2} e^{-x / 2} $. Para isso, usamos a regra do produto na derivação:
f''(x)
Aplicando a regra do produto:
f^prime(x) = (x-4)^2 e^-x / 2
Simplificando os termos:
f''(x) = ddx [ (x-4)^2 cdot e^-x/2 ]
Podemos fatorar $ e^{-x/2} $ e $ (x-4) $:
f''(x) = 2(x-4) cdot e^-x/2 + (x-4)^2 cdot ( -12 e^-x/2 )
Simplificando dentro dos colchetes:
f''(x) = 2(x-4) e^-x/2 - 12(x-4)^2 e^-x/2
Então:
e^-x/2

Passo 4

Agora, queremos saber onde $ f’’(x) < 0 $. Olhando para a expressão de $ f’’(x) $:
f''(x) < 0
Sabemos que $ e^{-x/2} $ é sempre positivo para todo $ x $, e $ \frac{1}{2} $ também é positivo. Portanto, o sinal de $ f’’(x) $ depende dos fatores $ (x-4) $ e $ (8 - x) $.
Vamos analisar:
  • $ (x-4)(8 - x) = -(x-4)(x-8) $
Os pontos críticos são $ x = 4 $ e $ x = 8 $. Vamos dividir a reta numérica em intervalos:
  1. $ x < 4 $
  2. $ 4 < x < 8 $
  3. $ x > 8 $
Vamos verificar o sinal de $ (x-4)(8 - x) $ em cada intervalo:
  1. Para $ x < 4 $:
    • $ x-4 < 0 $
    • $ 8 - x > 0 $
    • Produto: negativo
  2. Para $ 4 < x < 8 $:
    • $ x-4 > 0 $
    • $ 8 - x > 0 $
    • Produto: positivo
  3. Para $ x > 8 $:
    • $ x-4 > 0 $
    • $ 8 - x < 0 $
    • Produto: negativo

Passo 5

Como $ f’’(x) $ é proporcional a $ (x-4)(8 - x) $, vimos que:
  • $ f’’(x) < 0 $ quando $ x < 4 $ ou $ x > 8 $
  • $ f’’(x) > 0 $ quando $ 4 < x < 8 $

Resposta

A função $ f $ é côncava para baixo nos intervalos $ (-\infty, 4) $ e $ (8, +\infty) $.

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